Понимание диаграмм Фейнмана для двухточечной корреляционной функции и ϕ3ϕ3\phi^3

Это дополнительный вопрос (см. первый здесь , второй здесь ). Вам не обязательно читать эти два, чтобы подписаться на этот пост.

Я нацелен понять$V(\phi) = -\lambda \frac{\phi^3}{3!}$теория для$2-$точечная корреляционная функция в деталях. Чтобы упростить задачу, мы сосредоточимся только на связных диаграммах.

В предыдущих постах я обратил внимание на вычисления через статистическую сумму$Z[J] = \int d[\phi] e^{iS[\phi] + i\int d^d x J(x) \phi(x)}$. Здесь я хочу получить больше концептуального понимания.

Учитывая, что мы изучаем$2-$точечной корреляционной функции, у нас может быть только две внешние ноги. Количество вершин зависит от порядка в теории возмущений (т.е.$\mathcal{O}(\lambda)$). У меня есть несколько концептуальных вопросов, которые я представлю в свое время. Давайте начнем

• $\mathcal{O}(\lambda^0)$заказ.

В этом случае мы имеем дело ни с одной вершиной (и, конечно, с двумя внешними ветвями. Я не буду упоминать последнее явно, учитывая, что мы все время будем иметь дело с двумя внешними ветвями, т.е.$2-$точечная корреляционная функция$\langle \phi(x_1) \phi(x_2) \rangle$). Следовательно, диаграмма Фейнмана — это просто пропагатор, т.е.

• $\mathcal{O}(\lambda^1)$заказ.

я прочитал это$\langle \phi(x_1) \phi(x_2) \rangle$, для$\phi^3$, не имеет диаграммы для$\mathcal{O}(\lambda^1)$порядок, потому что невозможно иметь диаграмму с двумя внешними ногами и одной вершиной . Я думал, что причина в том, что по определению внешняя нога представлена ​​вершиной с одной исходящей линией. Следовательно, если бы мы добавили еще одну внешнюю ногу, нам обязательно нужно было бы добавить еще одну вершину. Однако это кажется неправильным. Почему тогда такое утверждение верно?

• $\mathcal{O}(\lambda^2)$заказ.

Имеется только одна диаграмма второго порядка: две внешние ветви, петля посередине, и каждая внешняя ветвь входит в свою вершину на петле, поэтому две вершины

Почему это уникальная диаграмма для $\mathcal{O}(\lambda^2)$ хотя? Я думаю, что ответ основан на формуле Эйлера$L=I-V + 1$(где$L$это количество петель,$I$количество внутренних линий и$V$это количество вершин). У нас есть$V=2$, так$L=I-2 + 1$. Отрицательное количество петель (я думаю) не имеет смысла, поэтому нам нужно$I \geq 1$. Если$I = 1$мы просто выздоравливаем$\mathcal{O}(\lambda^0)$порядке, поэтому мы отказываемся от этого. Если$I = 2$, получаем искомую диаграмму. Если$I = 3$нам понадобится 2 петли, и я думаю, что невозможно иметь 2 петли только с двумя вершинами (я должен снова спросить: почему?)

Если приведенный выше аргумент, основанный на формуле Эйлера, неверен, сообщите мне об этом.

• $\mathcal{O}(\lambda^3)$заказ.

Так же, как для$\mathcal{O}(\lambda^1)$, схемы нет$\mathcal{O}(\lambda^3)$потому что невозможно иметь диаграмму с двумя внешними ногами и тремя вершинами . Как только я пойму, почему это так$\mathcal{O}(\lambda^1)$, я должен быть в состоянии понять, почему$\mathcal{O}(\lambda^3)$не имеет схемы.

• $\mathcal{O}(\lambda^4)$заказ.

Опять же, я могу найти только один вклад, основанный на формуле Эйлера: мы имеем$4$вершины и$5$внутренние линии, поэтому$2$петли.

Вопрос: почему? Опять же, я смогу ответить, как только пойму, почему существует уникальная диаграмма для$\mathcal{O}(\lambda^2)$заказ.

Заказы в возмущении, конечно, продолжаются. Однако остановимся на$\mathcal{O}(\lambda^4)$на данный момент :)

PS: Обратите внимание, что это не вопрос домашнего задания. Изучаю заметки Осборна , раздел 2.2. Interacting Scalar Field Theory , и я хочу понять, как он построил правила Фейнмана, разработав простейший пример, который я смог найти:$\phi^3$теория и$2-$точечная корреляционная функция

РЕДАКТИРОВАТЬ 0 Благодаря предоставленному ответу я лучше понимаю! Просто позвольте мне задать вам пару быстрых вопросов

1. Таким образом, для$\mathcal{O}(\lambda^6)$, схема такая

то есть$8$внутренние линии и$6$вершин так, по формуле Эйлера$L=8-6+1=3$петли.

Ммм, я начинаю видеть закономерность. Я бы сказал, что для$\mathcal{O}(\lambda^n)$мы бы получили

$\frac{3N}{2}-1$внутренние линии,$N$вершины и$\frac{N}{2}$петли. Вы согласны?

2. Я получаю только одну диаграмму для каждого порядка в теории возмущений. Если я действительно прав, почему мы получаем только одну диаграмму для каждого заказа?