Квадрат матриц Паули и единичная матрица

ОП спрашивает:

Есть ли в этом какой-то физический смысл?

Да, матрица Паули$\sigma_j$представляет (с точностью до коэффициента пропорциональности) спин в$j$направление вращения$\frac{1}{2}$система. Такая система имеет только два спиновых состояния:$\uparrow$и$\downarrow$, с противоположными собственными значениями. Квадрат$\sigma_j^2$больше не может видеть знак, поэтому имеет только одно собственное значение, ср. комментарий БМС. Другими словами, квадрат$\sigma_j^2$пропорциональна единичной матрице.

Это потому, что есть только два возможных значения вращения в любом направлении,$-\frac{\hbar}{2}$и$\frac{\hbar}{2}$, они просто отличаются знаком, поэтому при возведении в квадрат получается одно значение$\frac{\hbar^2}{4}$. Подумайте об этом, единственное возможное значение, когда вы измеряете квадрат$S_z$является$\frac{\hbar^2}{4}$для любого состояния, поэтому

$$<\psi|S_z^2|\psi>=\frac{\hbar^2}{4} \quad \forall \, |\psi>$$ Так что это должно быть кратно оператору идентичности $$S_z^2=\frac{\hbar^2}{4} I$$ Помните, что $S_z$пропорциональна матрицам Паули, $S_z =\frac{\hbar}{2} \sigma_z$.