Как отличить топологическое состояние от нетопологического?

Понятия кривизны Берри и числа Черна являются ключевыми для определения разницы между тем, что является топологическим, а что нет.

Рассмотрим гамильтониан$\mathcal{H}$которая является функцией N зависящих от времени параметров$(\Gamma_1(t)\,...\,\Gamma_j(t)...\,\Gamma_N(t))\equiv\mathbf{\Gamma}(t)$. Эволюция такой системы задается уравнением Шрёдингера:

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle=\mathcal{H}(\mathbf{\Gamma}(t))|\Psi(t)\rangle$$ В каждое мгновение $t$, можно разложить решение по собственному базису $\mathcal{H}$, что должно быть известно: $$|\Psi(t)\rangle=\sum_k\alpha_k(t)|\phi_k(\mathbf{\Gamma}(t))\rangle$$ Предположим, что $\mathbf{\Gamma}(t)$быстро меняется во времени, и при заданном начальном условии $|\Psi(t=0)\rangle=\alpha_i|\phi_i\rangle$, то система следует адиабатически $|\phi_i\rangle$исходное состояние, так что: $$|\Psi(t)\rangle\approx\alpha_i|\phi_i(\mathbf{\Gamma}(t))\rangle$$ Тогда уравнение Шрёдингера имеет вид: $$\mathrm{i}\hbar\,\left[\dot{\alpha_i}+\dot{\mathbf{\Gamma}}\cdot\langle\phi_i(\mathbf{\Gamma})|\mathbf{\nabla}\phi_i(\mathbf{\Gamma})\rangle\right]=E_i(t)\,\alpha_i$$ Это выражение подчеркивает ключевое понятие, связь Берри : $$\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma})=\mathrm{i}\hbar\,\langle\phi_i(\mathbf{\Gamma})|\mathbf{\nabla}\phi_i(\mathbf{\Gamma})\rangle$$ Решение $\alpha_i(t)$затем читается как: $$\alpha_i(t)=e^{\mathrm{i}(\varphi_B+\varphi_d(t))}\alpha_i(0)$$ где $\varphi_d(t)=-\frac{1}{\hbar}\int^t_0\mathrm{d}s\,E_i(s)$– обычная динамическая фаза, а $\varphi_B$известно, что это фаза Берри системы: $$\varphi_B=\frac{1}{\hbar}\int^t_0\mathrm{d}s\,\dot{\mathbf{\Gamma}}(s)\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma}(s))=\frac{1}{\hbar}\int^{\mathbf{\Gamma}(t)}_{\mathbf{\Gamma}(0)}\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}\,\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma})$$ Теперь предположим, что временная эволюция $\mathbf{\Gamma}$описывает циклический процесс такой, что $\mathbf{\Gamma}(0)=\mathbf{\Gamma}(T)$где $T$Таким образом, это период, который требуется системе для выполнения одного цикла на заданном пути. $C$.

Затем,

$$\varphi_B=\frac{1}{\hbar}\oint_C\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}\,\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i(\mathbf{\Gamma})=\frac{1}{\hbar}\oint_\Sigma\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}\,\cdot\mathbf{\mathcal{B}}_i$$ используя теорему Стокса на замкнутой поверхности $\mathbf{\Sigma}$, где $\mathbf{\mathcal{B}}_i=\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{\mathcal{A}}_i$– кривизна Берри .

Затем, если вы хотите узнать, является ли ваша система топологически нетривиальной, вам просто нужно вычислить$\varphi_B$, а точнее, связанное с ним число Черна:

$$\eta=\frac{\varphi_B}{2\pi}\in\mathbb{Z}$$ Если $\eta=0$, то ваша система топологически тривиальна.

Обратите внимание, что приведенный выше подход является очень общим, особенно когда речь идет о$\mathbf{\Gamma}$параметры, которые могут быть любыми (магнитное поле, спин-орбитальная связь, излучение лазерного луча и т.д.) при сохранении адиабатичности .