Может ли сохраняющее симметрию унитарное преобразование, которое переходит от тривиальной СПД к нетривиальной СПД, быть локальным?

Этот вопрос касается очень интересной статьи: «Защищенные симметрией топологические (SPT) порядки и групповые когомологии их группы симметрии» Чена и др., http://arxiv.org/abs/1106.4772 .

В этой статье в разделе II.F. (левый столбец страницы 7) говорят, что унитарное преобразование U, которое переходит из тривиального состояния СПД в нетривиальное состояние СПД, волновая функция которого записывается как произведение групповых коциклов, является локальным. Действительно, цитируя статью «Тогда, используя локальное унитарное преобразование U "=" ∏ △ ν 3 ( 1 , г я , г Дж , г к ) ∏ ▽ ν 3 − 1 ( 1 , г я , г Дж , г к ) , мы находим, что приведенная выше идеальная волновая функция основного состояния определяется выражением Φ "=" U Φ 0 и где Φ 0 является тривиальным состоянием SPT и Φ нетривиальный.

Учитывая то что U сохраняет симметрию, мой вопрос: как U может быть локальным, поскольку по определению две разные фазы СПД не могут быть связаны сохраняющим симметрию локальным унитарным преобразованием (как указано в статье)?

Ответы (3)

И тривиальное, и нетривиальное состояния SPT симметричны относительно преобразований унитарной симметрии на месте. Тривиальное и нетривиальное состояния СПД могут отображаться друг в друге локальными унитарными преобразованиями (т. U в вашем вопросе). Хотя такой U является локальным унитарным преобразованием, 1. не является локальным преобразованием симметрии, 2. не является локальным унитарным преобразованием симметрии, 3. не является симметричным относительно локальных преобразований симметрии.

Если два состояния могут быть отображены друг в друге с помощью симметричных локальных унитарных преобразований, то два состояния имеют один и тот же порядок SPT.

Большое спасибо за ваш ответ. Согласно вашему второму предложению, это означает, что если U определенное выше является локальным, оно должно быть несимметричным. я не понимаю, как U может быть несимметричным, так как произведение коциклов инвариантно относительно симметрии. Поэтому мне кажется, что U не является локальным, в отличие от того, что говорится в статье.
@Thomas Унитарное преобразование U является локальным , но не на месте . Это произведение операторов над симплексами (треугольниками), но не произведение операторов на каждом сайте, поэтому оно соответствует правилу 1 ответа профессора Вэня выше. Также будьте осторожны, что ν 3 ( 1 , г я , г Дж , г к ) → ν 3 ( 1 , г г я , г г Дж , г г к ) не является симметричным преобразованием коцикла, поскольку г действует только на пространственный симплекс, но не касается первого элемента 1 . Так или нет U симметричность не очевидна на первый взгляд.
Спасибо за комментарий Everett You, который очень ясен. Я изменил свой ответ, чтобы сделать его более понятным.

Здесь есть важное различие, которое, как мне кажется, не было учтено в других ответах. Можно проверить, что унитарное U как указано в вопросе, действительно симметрично в том смысле, что [ U , Вт ( г ) ] "=" 0 , где Вт ( г ) является представлением симметрии. Он также является локальным унитарным в том смысле, что можно найти локальный (возможно, зависящий от времени) гамильтониан ЧАС ( т ) такой, что U это эволюция во времени ЧАС ,

U "=" Т опыт ⁡ ( − я ∫ 0 1 ЧАС ( т ) д т ) .
Однако можно доказать, что гамильтониан ЧАС ( т ) не может быть выбран симметричным, т.е. обязательно [ ЧАС ( т ) , Вт ( г ) ] ≠ 0 для некоторых т . Только локальные унитары, которые могут быть порождены симметричными гамильтонианами, имеют право называться симметричными локальными унитарами.

(Если вместо этого мы определим локальное унитарное устройство как квантовую схему конечной глубины, то соответствующее утверждение состоит в том, что U не может быть записана как квантовая схема конечной глубины, в которой каждый слой индивидуально симметричен.)

Несколько иной (но эквивалентный) способ думать об этом состоит в том, что U симметричен только в системе без границ. Если мы попытаемся реализовать это в системе с границей, мы обнаружим, что это должно нарушить симметрию. Истинно симметричный локальный унитар должен соблюдать симметрию независимо от граничных условий.

Кажется, вы подумали Φ 0 является тривиальным SPT, а Φ является нетривиальным. Это не имеет смысла без определения преобразования симметрии. Дело в том, что Φ "=" U Φ 0 означает, что оба являются состоянием продукта ( U — честное локальное унитарное преобразование). Однако преобразование симметрии определяется по-разному в двух состояниях: для Φ действие симметрии просто | г я ⟩ → | г г я ⟩ , в то время как на Φ 0 , действие симметрии намного сложнее (оттянуть простое на Φ к U ). Таким образом, обе фазы являются нетривиальными фазами СПД, если ν 3 — нетривиальный коцикл, но с разными определениями преобразований симметрии. Другими словами, если мы начнем с Φ 0 с «тривиальным» преобразованием симметрии | г я ⟩ → | г г я ⟩ , превращаясь в Φ 0 к U , по-прежнему получается тривиальная фаза SPT.

Может ли сохраняющее симметрию унитарное преобразование, которое переходит от тривиальной СПД к нетривиальной СПД, быть локальным?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v