Как оценить спиновые операторы при вторичном квантовании для детерминант Слейтера с нарушением спиновой симметрии?

Предположим, что у нас есть следующий определитель Слейтера:

| Ψ ⟩ "=" ∏ я , я ′ а я α + а я ′ β + | ⟩
где а я α + создает электрон в состоянии я со спиной α и вообще, я ≠ я ′ . я хочу оценить ⟨ Ψ | С 2 | Ψ ⟩ с использованием вторичного квантования. Мы можем выразить С 2 оператор как
С 2 "=" С − С + + С г ( С г + 1 )
с
С − "=" ∑ п а п β + а п α С + "=" ∑ п а п α + а п β .
С | Ψ ⟩ является собственной функцией С г , оценка ⟨ Ψ | С г | Ψ ⟩ становится тривиальным, и проблема сводится к оценке ⟨ Ψ | С − С + | Ψ ⟩ . В стандартном ограниченном методе Хартри-Фока я "=" я ′ и легко показать, что ⟨ Ψ | С − С + | Ψ ⟩ "=" 0 используя канонические антикоммутационные соотношения. Когда я ≠ я ′ (неограниченный Хартри-Фок) мы должны иметь это ⟨ Ψ | С − С + | Ψ ⟩ "=" Н β − Тр ( п Вопрос ) (это я проверил в книгах) где Н β это количество β электроны и п я Дж "=" ⟨ Ψ | а Дж α + а я α | Ψ ⟩ и Вопрос я Дж "=" ⟨ Ψ | а Дж β + а я β | Ψ ⟩ .

Тогда мой вопрос, в частности, как мы получаем ⟨ Ψ | С − С + | Ψ ⟩ "=" Н β − Тр ( п Вопрос ) используя антикоммутационные соотношения вторичного квантования? Если я попытаюсь использовать эти антикоммутационные соотношения именно так, как они написаны в учебниках, я не получу правильного ответа. Ясно, что я что-то не так понял, или нужно учитывать какие-то особые соображения, когда я ≠ я ′ . Если кто-то может показать мне, как правильно использовать второе квантование, чтобы получить здесь правильный ответ, я был бы очень признателен.

Ответы (1)

У меня недостаточно репутации, чтобы опубликовать это как комментарий, каким он должен быть.

Не должен ли продукт в вашем определении | Ψ ⟩ переходить я , я ′ ? Это ограничено я > я ′ ? Есть ли какое-либо ограничение, которое α ≠ β ?

Не могли бы вы предоставить подробную информацию о решении, которое вы пробовали до сих пор?

РЕДАКТИРОВАТЬ

Как вы говорите в своем комментарии,

С − С + "=" а п β † а п α а д α † а д β .

Антикоммутировать а п β † через а п α а д α † .

С − С + "=" а п α а д α † а п β † а д β .

Теперь антикоммутируют а д α † через а п α , но не забывайте о возможности того, что п "=" д .

С − С + "=" ( дельта д п − а д α † а п α ) а п β † а д β ,
и у вас есть,
С − С + "=" а п β † а п β − а д α † а п α а п β † а д β .

И вы сделали.

Да, сумма закончилась я , я ′ (Я отредактировал, чтобы отразить это). Мы хотим β состояния отличаются от α государства вызывают в противном случае Ψ будет собственной функцией С 2 . Мы можем иметь Н α ≠ Н β но если кто-то может показать мне, как решить это для случая Н α "=" Н β это нормально. То, что я пробовал, - это просто оценка условий (подразумевается суммирование по индексам) С − С + "=" а п β + а п α а д α + а д β "=" п п д Вопрос п д что дает только Tr( п Вопрос ), значит, я что-то делаю не так.
извините, я перепутал последнюю часть моего последнего комментария и не могу отредактировать повторно. Если я использую антикоммутатор { а п α + , а д α } "=" п д п я получил а п β + а п α а д α + а д β "=" 0 .
+1. Полезный ответ. Для меня остается один вопрос: в вашем третьем уравнении выше, почему мы можем написать дельта д п скорее, чем п д п ? Я знаю, что есть основа, в которой п д п "=" дельта д п но тогда, если использовать эту основу для оценки а д α + а п α а п β + а д β , не могли бы мы просто получить дельта д п ? Я считаю, что причина здесь в том, что альфа- и бета-состояния различны, поэтому мы не можем диагонализовать их одновременно, я прав или по другой причине?
В третьей строке используется только определение антикоммутатора, { а п α , а д α † } "=" дельта д п . Это позволяет нам заменить а п α а д α † к дельта п д − а д α † а п α .
Как оценить спиновые операторы при вторичном квантовании для детерминант Слейтера с нарушением спиновой симметрии?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v