Как понимать фермион мирового листа как раздел?

Question

Как понимать фермион мирового листа как раздел?

Физика
теория струн
математическая физика
топологическая теория поля

тон

Я читаю статью Виттена о топологической цепочке и обнаружил, что некоторые математические обозначения мне трудно понять. Рассмотрим нелинейную сигма-модель в двух измерениях, управляемую картами. $\Phi : \Sigma \rightarrow X$ с $\Sigma$ является римановой поверхностью и $X$ риманово многообразие метрики $g$ . $z, \bar{z}$ являются локальными координатами на $\Sigma$ а также $\phi^I$ координируется на $X$ . $K$ а также $\bar{K}$ являются каноническими и антиканоническими линейными расслоениями $\Sigma$ (расслоение одной формы типов (1,0) и (0,1) соответственно), и пусть $K^{1/2}$ а также $\bar{K}^{1/2}$ .Ферми-поля модели $\psi_{+}^I$ , часть $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ .

Я не могу понять разделы $K^{1/2}$ , $\Phi^*(TX)$ а также $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ .

С моей точки зрения, элемент $K$ должен иметь следующий вид $\alpha_z dz\in K$ , и что является элементом $K^{1/2}$ ? обратная сторона касательного пространства должна иметь форму $\Phi^*(\beta^i \frac{\partial}{\partial \phi^i})=\beta^i \frac{1}{\frac{\partial \phi^i}{\partial z} }\frac{\partial}{\partial z}$ . Но в некоторых примечаниях автор, кажется, дает, что форма (0,1) $\psi_-^i$ со значениями в $\Phi^*(T^{1,0} X)$ можно записать как $\psi_{\bar{z}}^i$ удовлетворяющий $\psi \supset \psi_{\bar{z}}^id\bar{z}\otimes \frac{\partial}{\partial \phi^i}$ . Это противоречит моей наивной точке зрения. где я сделал ошибки? Как понять разделы $K^{1/2}$ , $\Phi^*(TX)$ а также $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ ?

Заранее спасибо.

пользователь1504

В дополнение к другим ответам я должен указать, что при чтении этой статьи нужно быть осторожным, чтобы обратить внимание на то, обсуждает ли Виттен КТП или связанную с ней «скрученную» КТП. Последнее не будет включать квадратные корни из канонического расслоения. Вы можете запутаться, пытаясь сопоставить формулы из закрученной и не закрученной теорий.

Ответы (2)

Как понимать фермион мирового листа как раздел?

В дополнение к другим ответам я должен указать, что при чтении этой статьи нужно быть осторожным, чтобы обратить внимание на то, обсуждает ли Виттен КТП или связанную с ней «скрученную» КТП. Последнее не будет включать квадратные корни из канонического расслоения. Вы можете запутаться, пытаясь сопоставить формулы из закрученной и не закрученной теорий.

твистор59 · Answer 1

В общем случае канонический пучок $K$ расслоение n-форм на n-мерном многообразии. Поскольку ваша риманова поверхность $\Sigma$ является одномерным (комплексным), это просто (линейное) расслоение голоморфных одномерных форм. «Квадратный корень» $K^{\frac{1}{2}}$ это пучок вещей, которые трансформируются способом, который является своего рода квадратным корнем трансформации голоморфных форм. Итак, если при преобразовании координат мирового листа (где $z$ является локальной координатой на $\Sigma$ )

г \to е^{я α} г

$z\rightarrow e^{i\alpha}z$ единая форма преобразуется как

ю \to е^{я α} ю

$\omega\rightarrow e^{i\alpha}\omega$ затем для квадратного корня нам нужно что-то преобразующее как

ψ \to е^{я \frac{α}{2}} ψ

$\psi\rightarrow e^{i\frac{\alpha}{2}}\psi$ Это просто правый спинор мирового листа. Если это RH, это обозначается

ψ_{+}

$\psi_{+}$ а если вместо этого он трансформировался с

- \frac{α}{2}

$-\frac{\alpha}{2}$ , это LH и обозначается

ψ_{-}

$\psi_{-}$

Теперь вы также хотите, чтобы ваша сущность принимала значения в пакете $\phi^{*}(TX)$ .

$\phi:\Sigma\rightarrow X$ является вложением. Думать о $\phi^{i}$ ; $i=1..N$ (куда $N$ размерность $X$ ) как координаты на $X$ , то желаемый объект имеет индекс целевого пространства. Так, например, правая версия компонентов будет $\psi^{i}_{+}$ , а раздел

ψ_{+}^{я} (г) \frac{\partial}{\partial ф^{я}}

$\psi^{i}_{+}(z)\frac{\partial}{\partial \phi^i}$

$\psi_+^i(z)\frac{\partial}{\partial\phi}$ кажется, принимают значения в $TX$ скорее, чем $\Phi^*(TX)$ , почему бы не в какой-то форме $\psi_+^i \frac{1}{\frac{\partial \phi^i}{\partial z} }\frac{\partial}{\partial z}$ ? Чем отличаются разделы $K^{1/2}$ , $\Phi^*(TX)$ а также $K^{1/2}\otimes\Phi^*(TX)$ ?
Если у меня есть векторный пучок $V$ над $X$ , то слой оттянутого расслоения $\phi^{*}(V)$ над $p \in \Sigma$ это всего лишь волокно $V$ над $\Phi(p)$ , так как $\Phi$ вот вложение, я могу просто работать с изображением $\Sigma$ и ограничить рассматриваемое расслоение (в данном случае касательное расслоение) этим изображением.
Извините, что воскресил это обсуждение. Просто чтобы удостовериться, что я понимаю результат всего этого: делают ли спиноры $\psi_{+}$ а также $\psi_{-}$ соответствуют участкам спинорных пучков $S=K^{1/2}$ а также $S=\bar{K}^{1/2}$ соответственно? Пока $\psi^{i}_{+} \dfrac{\partial}{\partial \phi^{i}}$ а также $\psi^{i}_{-} \dfrac{\partial}{\partial \phi^{i}}$ являются разделами $K^{1/2} \times \phi*(TX)$ а также $\bar{K}^{1/2} \times \phi*(TX)$ соответственно?

Давид Бар Моше · Answer 2

Спиноры — это участки спинорного пучка. Разложение спинорного расслоения, данное Виттеном, справедливо на кэлеровых многообразиях, частным случаем которых являются римановы поверхности. Спинорное расслоение имеет структурную группу $SO(2N)$ , куда $N$ - комплексная размерность кэлерова многообразия $M$ . Эта группа сводится к U(N) в силу существования кэлеровой структуры. (Это означает, что при записи уравнения Дирака искривленного пространства на $M$ , оно имеет вид калиброванного уравнения Дирака в плоском пространстве, связанного с калибровочным полем U(N)).

Пространство сечений спинорного пучка принадлежит $2^N$ размерное спинорное представление $SO(2N)$ . Это представление разлагается в прямую сумму всех антисимметричных представлений $SU(N)$ фактор $U(N)$ при редукции структурной группы. Таким образом, с точки зрения подсчета измерений, $2^N$ пространство размерного спинориального представления изоморфно внешней алгебре $\Lambda^{(0, *)}(M)$ голоморфного касательного расслоения.

Появление квадратного корня канонического расслоения связано с тем, что вклад $U(1)$ фактор $U(N)$ группа к уравнению Дирака является абелевой связностью, кривизна которой равна $\frac{N}{2}$ раз кэлерова структура. Эта часть обеспечивает вращение $\frac{1}{2}$ характер фермионных полей.

Как понимать фермион мирового листа как раздел?

тон

пользователь1504

Ответы (2)

твистор59

тон

твистор59

Сирадж Р Хан

Давид Бар Моше

об аксиомах Атьи-Сигала в топологической квантовой теории поля

Автодуальные уравнения Максвелла, вторая группа гомологий и топологические инварианты четырехмерного многообразия

Орбифолд с дискретным кручением

5-браны в топологической теории струн (TST)

Топологические струны: почему сложная структура для T2T2T^2 обозначается как ττ\tau в теории струн?

Теория струн в контексте предписаний квантования

Какие области физики должен изучить математик, чтобы понять ТКТП?

Почему мы считаем алгебру Витта алгеброй симметрии классической конформной теории поля?

Математические определения в теории струн

Суперсимметричное обобщение бозонной σσ\sigma-модели в КМ