Как трансформируется оператор при обращении времени?

Мы знаем, что оператор обращения времени Т может быть представлен как

Т "=" U К
где U является некоторым унитарным оператором и К является оператором комплексного сопряжения.

Затем при операции обращения времени квантовое состояние | ψ ⟩ преобразуется следующим образом:

| ψ р ⟩ "=" Т | ψ ⟩ "=" U К | ψ ⟩ "=" U | ψ * ⟩
Если мы требуем от системы симметрии с обращением времени, то нам нужно иметь
⟨ ψ р | О р | ф р ⟩ "=" ⟨ ψ | О | ф ⟩
где | ψ ⟩ и | ф ⟩ некоторые произвольные квантовые состояния и О какой-то оператор. Из приведенного выше уравнения мы бы имели
⟨ ψ * | U † О р U | ф * ⟩ "=" ⟨ ψ | О | ф ⟩
Итак, основываясь на этом уравнении, как мы можем получить результат (данный в книге «Случайные матрицы» Мехты), что
О р "=" U О Т U †
где О Т означает транспонирование О .

Мой второй вопрос заключается в том, что, если мы НЕ предполагаем симметрию обращения времени?

Я читаю ваш вопрос, но у меня есть сомнения. Обращение времени является не только комплексно-сопряженным, оно также должно транспонировать элементы, на которые оно воздействует (векторы, матрицы).
Кроме того, для справки \langle и \rangle создают красиво выглядящие скобки, ⟨ ф | ψ ⟩ вместо < ф | ψ > , если вы заботитесь о таких вещах.
@Sofia также я не думаю, что оператору обращения времени нужно транспонировать операнд

Ответы (2)

Обращение времени не только комплексно-сопряженное, оно также переставляет элементы, на которые оно воздействует (векторы, матрицы).

Т ⟨ ф | О ^ | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ Т | О ^ | Т ф ⟩ .

Обратите внимание на изменение мест функций в правом крыле по отношению к левому крылу. Кроме того, я использовал тот факт, что О ^ не меняется при обращении времени.

Теперь сделаем следующее изменение, которое допустимо под интегралом, если обе функции обращаются в нуль на бесконечности:

⟨ U К ψ | О ^ | U К ф ⟩ "=" ⟨ ф | U О ^ U † | ψ ⟩ .

Итак, мы получили обратное время О ^ .

Я не думаю, что мы можем предположить, что оператор не меняется при обращении времени.
@Timo: вы можете думать или нет, но это предположение в тексте вопроса, см. 3-е уравнение.
Извините, но ваш аргумент кажется противоречивым. Мы должны выяснить, как трансформируется оператор при обращении времени, но вы предположили, что О не меняется при обращении времени. Мое предположение состоит в том, что внутренний продукт является инвариантным вместо оператора.
@Timo: обращая время вспять, мы видим, что частицы меняют свое движение. Начинаем с конечного состояния (мы вводим замену ⟨ϕ|†), применяем к нему Ô†, и, как подсказывает упражнение, полученный вектор теперь должен быть спроецирован на начальное состояние (которое, следовательно, должно выглядеть как |ψ ⟩†.(Я не уверен, что является начальным и конечным состояниями, но если я доверяю LHS 3-го равенства, то есть тому, что он взял транспонированное произведение компонентов, кажется, что |ψ⟩ является начальным состоянием. Но позвольте мне вернуться к вам немного позже.
@Timo: пожалуйста, поймите, почему я думал, что Ô - симметричный оператор. Перед 3-м равенством в вопросе написано «если нам потребуется симметрия обращения времени...».
на самом деле в моем выводе поставить звезду в кет в результате действия оператора сопряжения проблематично. вы можете обратиться к современной квантовой механике Дж. Дж. Сакурая за очень хорошим объяснением. Однако вопрос остается, потому что результат в Мехте явно отличается от результата в Сакурай.

Одна проблема с вашей формулой, которая Т факторизуется как произведение унитарного оператора U и комплексное сопряжение К заключается в том, что «комплексное сопряжение» априори бессмысленно в гильбертовом пространстве .

Позвольте мне быть более формальным об этом; рассмотрим вектор ψ е ЧАС , с ЧАС а н -мерное гильбертово пространство, т. е. изоморфное С н . Как (абстрактное) векторное пространство изоморфно каноническому гильбертовому пространству С н ? Следующим образом: выбрать основу { е я } я "=" 1 , . . . , н из ЧАС . Затем разложить ψ в этой основе:

ψ "=" ∑ я ψ я е я   .

Наконец карта ψ на н -тупель ( ψ 1 , . . . , ψ н ) .

Как видите, этот изоморфизм обозначим через Е , очень сильно зависит от выбранного базиса.

Давайте все равно проигнорируем это. На С н мы можем определить комплексное сопряжение К , это просто карта

К ( ψ 1 , . . . , ψ н ) "=" ( ψ 1 ¯ , . . . , ψ н ¯ )   .

Следовательно, мы можем определить комплексное сопряжение К Е на ЧАС просто по

К Е "=" Е − 1 ∘ К ∘ Е   .

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы изменим базис; рассмотреть другую основу Е ′ "=" { е я ′ } я "=" 1 , . . . , н с е я "=" ∑ Дж М я Дж е Дж ′ . Затем, учитывая М я Дж как матрица операции над С н :

К Е "=" Е − 1 ∘ К ∘ Е "=" Е ′ − 1 ∘ М − 1 ∘ К ∘ М ∘ Е ′ "=" Е ′ − 1 ∘ М ¯ М − 1 К ∘ Е ′   ,

т.е. если М ¯ "=" М , К Е ≠ К Е ′ . Следовательно, не существует инвариантного понятия комплексного сопряжения в комплексном гильбертовом пространстве.

Верно утверждение, что если мы зафиксируем базис Е , мы можем записать комплексное сопряжение по любому другому базису как

К Е ′ "=" U Е , Е ′ К Е   ,

где U Е , Е ′ является унитарным. Обратите внимание, что комплексное сопряжение зависит от Е только через класс эквивалентности [ Е ] основы, связанной с Е через реальные преобразования.

На этом языке можно было бы сказать, что операция обращения времени — это выбор предпочтительного класса эквивалентности базиса. То есть, по крайней мере, если Т 2 "=" 1 . Если Т 2 "=" − 1 , мы должны отобразить ЧАС к ЧАС н / 2 , где ЧАС являются кватернионами.

Это оставляет вам рецепт для вычисления обращенного во времени оператора, для Т 2 "=" 1 : просто представить О в вещественном базисе (базис, инвариантный относительно Т ), затем возьмем комплексное сопряжение этой матрицы.

Обратите внимание, что ни одна из этих манипуляций не зависит от Т быть симметрией.

Как трансформируется оператор при обращении времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v