Коммутирует ли оператор инверсии времени или антикоммутирует с полной производной по времени?

Мне интересно, если оператор обращения времени Т коммутирует или антикоммутирует с оператором производной по времени. С одной стороны, я думаю, что они коммутируют, потому что

Т д д т ф ( т ) "=" Т лим Δ → 0 ф ( т + Δ ) − ф ( т ) Δ "=" надеюсь на это лим Δ → 0 Т ф ( т + Δ ) − ф ( т ) Δ "=" лим Δ → 0 ф * ( т + Δ ) − ф * ( т ) Δ * "=" т е р лим Δ → 0 ф * ( т + Δ ) − ф * ( т ) Δ "=" д д т Т ф ( т )
для каждой функции ф ( т ) .

С другой стороны, для каждой действительной волновой функции ф ( Икс , т ) уравнение Шредингера

я ℏ д д т ф ( Икс , т ) "=" ЧАС ф ( Икс , т )
держится, значит, я могу заменить ЧАС с я ℏ д д т при воздействии на допустимую волновую функцию. Если теперь у нас есть система, обладающая инвариантностью к обращению времени, мы знаем, что гамильтониан ЧАС коммутирует с оператором обращения времени, что означает, что
я ℏ д д т Т "=" ЧАС Т "=" Т ЧАС "=" Т я ℏ д д т "=" − я ℏ Т д д т
Который означает, что Т и д д т антикоммутативный.

Что я делаю не так? Каково правило (анти)коммутации для оператора обращения времени и производной по времени?

Хороший вопрос (+1), но мне кажется, что это дубликат эффекта обращения времени на производную по времени в квантовой механике , не так ли?

Ответы (1)

Ваше первое уравнение неверно. Определять г "=" Т ф . Применение основного правила дифференцирования ( ты ∘ в ) ′ ( т ) "=" ты ′ ( в ( т ) ) в ′ ( т ) для составных функций г ( т ) "=" ф * ( − т ) , у нас есть

( Т ф ) ′ ( т ) "=" г ′ ( т ) "=" правило − ( ф * ) ′ ( − т ) "=" − ( ф ′ ) * ( − т ) "=" − ( Т ( ф ′ ) ) ( т )
для всех т , следовательно ( Т ф ) ′ "=" − Т ( ф ′ ) .

Спасибо за ваше предложение. Но если вы определите г "=" Т ф затем г ( т ) "=" ф * ( т ) и не ф ( − т ) .
Разве инверсия времени не меняется? т в − т ? См., например , T-симметрию .
Нет. Оператор, который в литературе называется «оператором обращения времени», является как раз антиунитарным оператором, относительно которого инвариантны собственные пространственные состояния, т.е. Т | Икс ⟩ "=" | Икс ⟩ . Если ф ( Икс , т ) является волновой функцией, то Т ф ( Икс , т ) "=" ф * ( Икс , т ) . Инверсия временного аргумента необходима для получения «физической» волновой функции, но это не работа оператора инверсии времени.
Вы уверены в знаке т ? Эта ссылка говорит Т ф ( Икс , т ) "=" ф * ( Икс , − т ) . я рассматривал настоящие ф в моем ответе, но результат остается тем же для ненастоящего ф .
@psicolor Я добавил сопряженный случай в свой ответ, чтобы сделать его правильным для всех функций со сложными значениями. Как видите, вывод остается прежним: ( Т ф ) ′ "=" − Т ( ф ′ ) .
Вы неверно истолковываете ссылку, но я должен признать, что это распространенный случай. Название «оператор инверсии времени» вводит в заблуждение, более удобным было бы название «импульсный оператор инверсии», но по историческим причинам все используют первое. В ссылке говорится, что операция симметрии, обращающая карты времени ф ( Икс , т ) к ф * ( Икс , − т ) . Это правильно, но это не то, что делает оператор инверсии времени (который лучше называть «импульсным оператором инверсии»).
Я не понимаю, как то, что вы говорите, связано со ссылкой на Т-симметрию , о которой я упоминал ранее, в которой говорится: «В теоретической физике Т-симметрия — это теоретическая симметрия физических законов при преобразовании обращения времени: Т : т ↦ − т ". Может быть, вы могли бы указать на ссылку, в которой прямо упоминается, что т ↦ т под обращением времени (или инверсией времени)?
Вы правы, карты инверсии времени т → − т , а оператор, который называется "оператор обращения времени" или "оператор обращения времени" - нет! Если ψ ( Икс , т ) является допустимой волновой функцией, то обращенная во времени волновая функция равна Т ψ ( Икс , − т ) "=" ψ * ( Икс , − т ) . Упомянутая вами ссылка объясняет это. Прочитайте еще раз, но имейте в виду, что реальная инверсия временного аргумента — это не то, что делает «оператор обращения времени». Оператор обращения времени просто инвертирует скорости, не более того. Чтобы получить фильм, который имеет смысл, вам дополнительно нужно инвертировать т аргумент.
Ну тогда как возникает несоответствие вашего вопроса? Кроме того, я нахожу странным, что если единственное действие Т состоит в том, чтобы взять сопряжение (это все, что он делает в вашем вопросе), нет необходимости в конкретном операторе, просто используйте функцию сопряжения. Кстати, я не вижу, что вы упоминаете в ссылке, которую я дал, где это?
Коммутирует ли оператор инверсии времени или антикоммутирует с полной производной по времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v