Я читал книгу по теоретической квантовой механике, и авторы ввели оператор (орбитального) углового момента как оператор, который генерирует вращения вокруг (произвольной) оси. Для этого они сначала показали, что любая матрица вращения, соответствующая повороту на угол тета вокруг оси e, может быть записана как:
где является кососимметричной матрицей.
Затем они продолжили изучение того, как унитарный оператор, соответствующий вращению, действует на волновую функцию, и в конечном итоге связали их с помощью формулы:
которые они просили читателя доказать. Я пытался доказать результат (простым дифференцированием левой части уравнения по отношению к тета) уже довольно давно, но, к сожалению, на самом деле ничего не получаю. Может быть, это просто простой трюк, который мне не хватает.
В любом случае, буду признателен за любые предложения или подсказки.
Дело в том, что проверка этого в декартовых координатах вручную может очень быстро запутаться. Если вы действительно хотите пойти на это, вы можете вместо этого попробовать сферические координаты и рассмотреть просто вращение вокруг ось. Затем вращение применяется на , с и , просто делает . Тогда ваше утверждение может быть записано как
Тогда вы можете просто утверждать, что это охватывает общий случай, поскольку можно просто использовать систему координат, адаптированную к вращению, так что ось вращения соответствует ось. Это связано с тем фактом, что любое вращение может быть записано в параметризации угловой оси.