Докажите, что Li=ϵijkxjpkLi=ϵijkxjpkL_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k

Проще всего сделать это грубой силой, с$(x,y,z)=(1,2,3)$и используя явные значения $\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1$,$\epsilon_{213}=\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=-1$, с другими комбинациями$0$.

Тогда, например:

$$\begin{align} L_x&=L_1=-i\hbar\epsilon_{1jk}x_j\frac{\partial }{\partial x_k}\, ,\\ &=-i\hbar\left(\epsilon_{123}x_2\frac{\partial }{\partial x_3}+\epsilon_{132} x_3\frac{\partial}{\partial x_2}\right)\, ,\\ &=-i\hbar\left( x_2\frac{\partial }{\partial x_3}-x_3\frac{\partial }{\partial x_2}\right)\, ,\\ &= -i\hbar\left(y\frac{\partial }{\partial z} - z\frac{\partial }{\partial y}\right). \end{align}$$ $L_y$и $L_z$делаются так же, как $L_x.$

Наконец, поскольку$-i\hbar \partial/\partial x_k=p_k$, следует последний шаг.

Это определение перекрестного произведения:$i^{th}$компонент перекрестного произведения между$x$и$p$является$\epsilon_{i\,j\,k}\,x_j\,p_k$. Как и в ответе ZeroTheHero , вы здесь ничего не доказываете, а просто расширяете определение.

Направленная площадь параллелограмма определяется формулой$x$и$p$это две формы$x\wedge p$. Тогда двойственный по Ходжу, реализованный с помощью$\epsilon$преобразует этот элемент направленной плоскости в вектор, который эквивалентен в трех измерениях, поскольку вектор полностью определяет плоскость, к которой он перпендикулярен. Вот как мы определяем векторное произведение: как «векторизованную» версию направленной площади параллелограмма, определяемую двумя векторами.