Является ли собственная функция оператора углового момента единственной?

Я хочу знать, если коммутационное соотношение для углового момента,

$$\left[ J_\alpha,J_\beta\right] = i\hbar\epsilon_{\alpha\beta\gamma}J_\gamma$$ достаточно для определения его уникального собственного состояния спина,$\lvert s,m\rangle$.

Насколько я знаю, отношения достаточно для определения лестничного оператора$J_\pm$.
В случае орбитального углового момента L ода$L_+\psi_t=0$и$L_-\psi_b=0$определяет уникальное состояние, таким образом однозначно определяя всю лестницу$\lvert l,m\rangle$.

Однако в случае спина вектор состояния лежит в абстрактном пространстве, поэтому уравнение$S_+\psi_t=0$и$S_-\psi_b=0$не может гарантировать уникальность$\psi_t$и$\psi_b$. Более того, отношение$S_z(S_+\lvert s,m\rangle)=(m+\hbar)(S_+\lvert s,m\rangle)$показывает, что$S_+\lvert s,m\rangle$является одним из собственных состояний для$S_z$с собственным значением$m+\hbar$, но это может быть не уникально.
Нет ли возможности, что$S^2$и$S_z$есть какое-то вырождение? Если тогда квантовая лестница может не охватывать всю основу для$S^2$и$S_z$.

Я думаю, игнорируя эти возможности и рассматривая эту процедуру как уникальную конструкцию$\lvert j,m_j\rangle$будет достаточно, но я хочу строгой демонстрации. Имеет ли это какое-то отношение к генераторной природе углового момента?

Изменить) Учитывая другой индекс k, например позицию$\vecr$, даст вектор состояния$\psi\left( r \right) \lvert s,m\rangle$который будет генерировать собственные векторы с одинаковым собственным значением, а также с другим пространственным компонентом$\psi\left( r \right)$дано.

Что мне интересно, так это то, что
стандартная теория углового момента, начиная с коммутационного соотношения, в конце концов доказывает существование собственного состояния$\lvert j,m_j\rangle$, удовлетворяющий

$$J^2\lvert j,m_j\rangle = j\left( j+1 \right)\hbar\lvert j,m_j\rangle\\J_z\lvert j,m_j\rangle = m_j\hbar\lvert j,m_j\rangle$$ интересно, можно ли найти$\lvert j,m_j\rangle'$без введения какого-либо другого индекса.
В случае углового момента L можно напрямую решить уравнение на собственные значения, чтобы найти единственное решение (сферические гармоники), поэтому интересующая меня проблема возникает в случае спина S, где единственным ограничением является алгебраическое соотношение.