Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Question

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Октавий

Моя цель — доказать ограничение для квантового числа орбитального импульса $-\ell \leq m \leq \ell$ . Мой профессор намекал мне, что я должен использовать норму государства $|| L_+ |\ell,m\rangle ||$ с вектором состояния $|\ell, m\rangle$ .

Итак, начну с нормы.

| | л_{+} | ℓ, м ⟩ | |^{2} "=" ⟨ ℓ, м | л_{-} л_{+} | ℓ, м ⟩ \geq 0.

$|| L_+ |\ell,m\rangle ||^2 = \langle\ell,m| L_-L_+ |\ell,m\rangle \geq 0.$

Прежде всего, я вычисляю произведение оператора:

л_{-} л_{+} "=" (л_{Икс} - я л_{у}) (л_{Икс} + я л_{у}) "=" л_{Икс}^{2} + л_{у}^{2} + я [л_{Икс}, л_{у}] "=" {\vec{л}}^{2} - л_{г}^{2} - ℏ л_{г} .

$L_-L_+ = (L_x - iL_y)(L_x + i L_y) = L_x^2 + L_y^2 + i[L_x, L_y] = \vec{L}^2 - L_z^2 - \hbar L_z.$

Используя собственные значения оператора, я получаю

| | л_{+} | ℓ, м ⟩ | |^{2} "=" \underset{"=" 1}{\underset{⏟}{⟨ ℓ, м | ℓ, м ⟩}} ℏ^{2} (ℓ (ℓ + 1) - м (м + 1)) \geq 0.

$|| L_+ |\ell,m\rangle || ^2 = \underbrace{\langle\ell, m|\ell,m\rangle}_{=1} \, \hbar^2 \big( \ell(\ell+1) - m(m+1) \big) \geq 0.$

Наконец у меня есть

ℓ (ℓ + 1) \geq м (м + 1) .

$\ell(\ell + 1) \geq m(m+1).$

Вычисляем теперь норму $|| L_- |\ell, m\rangle ||$ приводит меня к аналогичному неравенству:

ℓ (ℓ + 1) \geq м (м - 1) .

$\ell(\ell + 1) \geq m(m-1).$

Теперь мой вопрос: как перейти от этих двух неравенств к ограничению $-\ell \leq m \leq \ell$ ?

Г. Смит

Для кетов и бюстгальтеров существуют стандартные обозначения. Почему бы не использовать его?

Октавий

Я пробовал \bra{.} и \ket{.}, похоже, они не работали, другой команды я не знаю.

Г. Смит

Вы можете использовать \langle, \mid и \rangle.

Биофизик

Использование | для \mid тоже работает. Вы также можете сделать \right > или \left <. Так что некоторые варианты для кет из

ψ

$\psi$ . \mid\psi\rangleдает

∣ ψ ⟩

$\mid\psi\rangle$ , \left|\psi\right>также дает

| ψ ⟩

$\left|\psi\right>$ . Я обычно просто делаю |\psi\rangle:

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

Ответы (1)

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Для кетов и бюстгальтеров существуют стандартные обозначения. Почему бы не использовать его?
Я пробовал \bra{.} и \ket{.}, похоже, они не работали, другой команды я не знаю.
Вы можете использовать \langle, \mid и \rangle.
Использование | для \mid тоже работает. Вы также можете сделать \right > или \left <. Так что некоторые варианты для кет из $\psi$ . \mid\psi\rangleдает $\mid\psi\rangle$ , \left|\psi\right>также дает $\left|\psi\right>$ . Я обычно просто делаю |\psi\rangle: $|\psi\rangle$

AccidentalTaylorРасширение · Answer 1

Ваше неравенство можно прочитать как

ф (ℓ) \geq ф (м)

$f(\ell)\geq f(m)$ где

f (x) = x (x + 1)

$f(x)=x(x+1)$ . Это можно свести к

ℓ \geq m

$\ell\geq m$ применяя

f^{- 1}

$f^{-1}$ в обе стороны. Но есть предостережение. Наша функция

f

$f$ не является инъекцией, поскольку несколько значений x могут отображаться в одно и то же число. Это означает, что мы не можем легко определить обратное, и нам нужно проделать больше работы.

Наша функция представляет собой параболу с минимумом при $x=-1/2$ . Мы можем сделать эту инверсию немного проще, перейдя к этому минимуму, используя $\tilde \ell=\ell+1/2,\ \tilde m=m+1/2$ .

\begin{aligned} ℓ (ℓ + 1) & \geq м (м + 1) \\ (\tilde{ℓ} - 1 / 2) (\tilde{ℓ} + 1 / 2) & \geq (м - 1 / 2) (м + 1 / 2) \\ {\tilde{ℓ}}^{2} - 1 / 4 & \geq {\tilde{м}}^{2} - 1 / 4 \\ {\tilde{ℓ}}^{2} & \geq {\tilde{м}}^{2} \\ | \tilde{ℓ} | & \geq | \tilde{м} | \end{aligned}

$\begin{align} \ell(\ell+1)&\ge m(m+1)\\ (\tilde \ell-1/2)(\tilde\ell+1/2)&\ge(m-1/2)(m+1/2)\\ \tilde\ell^2-1/4&\geq \tilde m^2-1/4\\ \tilde \ell^2&\geq \tilde m^2\\ |\tilde \ell|&\ge|\tilde m| \end{align}$ Эта последняя строка означает

- \tilde{ℓ} \leq \tilde{m} \leq \tilde{l} ⟹ - ℓ \leq m \leq ℓ

$-\tilde \ell\le\tilde m\leq\tilde l\implies-\ell\le m\le \ell$ где я предполагал

ℓ

$\ell$ быть положительным.

Ясно и полно. Большое спасибо за ваш ответ.

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Октавий

Г. Смит

Октавий

Г. Смит

Биофизик

Ответы (1)

AccidentalTaylorРасширение

Октавий

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Проблема углового момента в квантовой механике

Ожидаемое значение оператора положения для состояний углового момента

Преобразование во вращающуюся рамку в основе xxx

Ожидаемое значение полного углового момента ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Можем ли мы доказать это без явного вычисления?

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга