Ожидаемое значение оператора положения для состояний углового момента

Если${\cal P}$является унитарным и самосопряженным оператором четности, хорошо известно, что${\cal P} |j, m\rangle = (-1)^j|j,m\rangle$тогда как

$${\cal P} X_k = -X_k {\cal P} \quad \mbox{and} \quad {\cal P} P_k = -P_k {\cal P}$$ для $k=1,2,3$с $X_k$оператор положения относительно $k$-я ось и $P_k$аналогичный оператор импульса.

Текст упражнения на самом деле использует немного неправильный формализм, поскольку$|j,m\rangle$указывает только часть вектора в$L^2(\mathbb S^2, d\Omega)$но ничего не сказано о радиальной части: еще одно квантовое число$n$относительно радиальной переменной,$|n, j, m\rangle$, следует добавить, но это не имеет значения, так как это не аннулирует написанное выше тождество${\cal P} |n, j, m\rangle = (-1)^j|n, j,m\rangle$

Оператор, появляющийся в вашей скобке,$O= X_1^2 P_1$вплоть до численных множителей (а тонкости с доменами я здесь пропущу), так что,

$${\cal P} O = -O{\cal P}\:.$$ Наконец, с этим $O$, $$\langle j, m| O|j, m\rangle= (-1)^j \langle j, m| O {\cal P}|j, m\rangle = (-1)^j (-1)\langle j, m| {\cal P} O|j, m\rangle = (-1)^j (-1) (-1)^j\langle j, m| O|j, m\rangle = -\langle j, m| O|j, m\rangle\:.$$ Подведение итогов $$\langle j, m| O|j, m\rangle= -\langle j, m| O|j, m\rangle$$ так что $$\langle j, m| O|j, m\rangle= 0$$ как хотел.

Заметьте, что если явно записать радиальное квантовое число, мы получим более точное тождество

$$\langle n, j, m| O|n', j', m'\rangle =0$$ по тому же аргументу $j+j'$даже. Я подчеркиваю, что у нас может быть $n \neq n'$и $m \neq m'$выше.

И последнее замечание: неправильно говорить, что это ожидаемая ценность$O$с$O$не является самосопряженным (и эрмитовым).

Вам нужно сначала преобразовать состояния углового момента в сферические гармоники, а затем из сферических гармоник в декартовы координаты. В задаче не упоминается какая-либо радиальная часть, поэтому я предполагаю, что это будет какой-то общий$f(r)$.

Кроме того, вы можете конвертировать$\partial/\partial x$и$x^2$к сферическим координатам, а затем воздействовать на соответствующие сферические гармоники.

В обоих случаях вам нужно преобразовать

$$\vert \ell,m\rangle \rightarrow f(r)Y_{\ell,m}(\theta,\phi)\, .$$