Каков физический смысл |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi)|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}}, где f(t) f(t)f(t) — положение как функция времени?

Question

Каков физический смысл |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi)|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}}, где f(t) f(t)f(t) — положение как функция времени?

лазер

Вот полная проблема:

введите описание изображения здесь

Я смог доказать данное выражение; но часть интерпретации доставляет мне немного хлопот. Вот моя интерпретация:

Среднее ускорение в $(a,b)$ , дан кем-то: $\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}}$

Таким образом, по определению среднего должно быть некоторое $\xi$ в $(a,b)$ СТ

| ф^{″} (ξ) | \leq \frac{ф (б) - ф (а)}{(б - а)^{2}} \leq \frac{4 (ф (б) - ф (а))}{(б - а)^{2}}

$|f''(\xi )|\leq\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}} \leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$

предполагая $f(b) \geq f(a)$

Однако я просто произвольно добавляю это 4 в числитель и не могу привязать его к какой-либо физической интерпретации. Может быть, мне нужно использовать тот факт, что $f'(a)=f'(b)=0$ ?

Любое понимание будет оценено!

Флавин

Какие темы вы изучали в последнее время? Если вы расскажете о том, что знаете, может быть проще помочь вам найти ответ.

Тримок

Любопытный. Во-первых, среднее ускорение

\frac{f^{'} (b) - f^{'} (a)}{b - a} = 0

$\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}=0$ .Потому что

f^{'} (b) = f^{'} (a)

$f'(b) = f'(a)$ , Тогда, полагая

f^{″} (x)

$f''(x)$ непрерывный, для любого

ϵ > 0

$\epsilon >0$ , существует точка

ξ

$\xi$ в

(a, b)

$(a,b)$ , такой, что

| f^{″} (ξ) | < ϵ

$|f''(\xi)|<\epsilon$ (если это не так, например,

f^{″} (a) > ϵ

$f''(a)>\epsilon$ , по непрерывности имеем

f^{″} (x) > ϵ

$f''(x) > \epsilon$ для всех

x

$x$ , поэтому у нас не может быть

f^{'} (b) = f^{'} (a)

$f'(b) = f'(a)$ ). Итак, предел

\frac{4 (f (b) - f (a))}{(b - a)^{2}}

$\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ , предполагая

f (b) > f (a)

$f(b) > f(a)$ , является частным случаем для

ϵ

$\epsilon$ (и для

f (a) > f (b)

$f(a) > f(b)$ , уравнение

| f^{″} (ξ) | < \frac{4 (f (b) - f (a))}{(b - a)^{2}}

$|f''(\xi)|<\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ неверно)

Ответы (2)

Каков физический смысл |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi)|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}}, где f(t) f(t)f(t) — положение как функция времени?

Какие темы вы изучали в последнее время? Если вы расскажете о том, что знаете, может быть проще помочь вам найти ответ.
Любопытный. Во-первых, среднее ускорение $\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}=0$ .Потому что $f'(b) = f'(a)$ , Тогда, полагая $f''(x)$ непрерывный, для любого $\epsilon >0$ , существует точка $\xi$ в $(a,b)$ , такой, что $|f''(\xi)|<\epsilon$ (если это не так, например, $f''(a)>\epsilon$ , по непрерывности имеем $f''(x) > \epsilon$ для всех $x$ , поэтому у нас не может быть $f'(b) = f'(a)$ ). Итак, предел $\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ , предполагая $f(b) > f(a)$ , является частным случаем для $\epsilon$ (и для $f(a) > f(b)$ , уравнение $|f''(\xi)|<\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}$ неверно)

Qмеханик · Answer 1

I) Обратите внимание, что исходное неравенство OP

| ф^{″} (ξ) | \leq 4 \frac{ф (б) - ф (а)}{(б - а)^{2}}

$|f''(\xi )|~\leq~4\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}}$ явно нарушен

0 \leq | ф^{″} (ξ) | \leq 4 \frac{ф (б) - ф (а)}{(б - а)^{2}} < 0

$0~\leq~|f''(\xi )|~\leq~4\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^{2}}~<~0$ везде если

f (b) < f (a)

$f(b)<f(a)$ , как упомянул Trimok в комментарии. Мы предполагаем, что с этого момента должно быть абсолютное значение на правой стороне. исходного неравенства ОП.

II) Как показал Тримок в том же комментарии и как показал Фредерик Брюннер в своем ответе, существует момент $\xi\in]a,b[$ где мгновенное ускорение

ф^{″} (ξ) "=" \frac{ф^{'} (б) - ф^{'} (а)}{б - а} "=" 0

$f''(\xi)~=~\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}~=~0$ равно среднему ускорению, а именно нулю, ср. Теорема Ролля . Этот результат даже сильнее, чем (скорректированное) неравенство OP.

III) В этом ответе мы хотели бы доказать обратное неравенство (4):

Должно существовать мгновение $c\in]a,b[$ где мгновенная скорость
$\begin{matrix} (1) & ф^{'} (с) "=" \frac{ф (б) - ф (а)}{б - а} \end{matrix}$ $\tag{1} f'(c)~=~\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ и средняя скорость одинакова, ср. теорема о среднем значении .
В силу симметрии можно считать, что момент $c\leq \frac{a+b}{2}$ меньше среднего времени, так что
$\begin{matrix} (2) & с - а \leq \frac{б - а}{2} . \end{matrix}$ $\tag{2} c-a~\leq~ \frac{b-a}{2}.$ (Другой случай $c\geq \frac{a+b}{2}$ можно рассматривать аналогичным образом, используя неравенство $b-c\leq\frac{b-a}{2}$ вместо.)
Опять же, существует мгновение $\xi\in]a,c[$ где мгновенное ускорение
$\begin{matrix} (3) & ф^{″} (ξ) "=" \frac{ф^{'} (с) - ф^{'} (а)}{с - а} \overset{(1)}{"="} \frac{ф (б) - ф (а)}{(с - а) (б - а)} \end{matrix}$ $\tag{3} f''(\xi)~=~\frac{f'(c)-f'(a)}{c-a}~\stackrel{(1)}{=}~\frac{f(b)-f(a)}{(c-a)(b-a)}$ равно среднему ускорению. (В другом случае смотрите на интервал ]c,b[.)

Ставим экв. (2) и (3) вместе находим неравенство (4):

\begin{matrix} (4) & \exists ξ е] а, б [: | ф^{″} (ξ) | \geq 2 \frac{| ф (б) - ф (а) |}{(б - а)^{2}} . \end{matrix}

$\tag{4} \exists \xi\in]a,b[:~~ |f''(\xi)|~\geq~ 2 \frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^2}.$

Нужно быть уверенным, что $f(b) > f(a)$
@Trimok: Да, ты прав. Хорошая точка зрения. исходное неравенство OP $0\leq|f''(\xi )|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(b-a)^{2}}<0$ везде явно нарушается, если $f(b)<f(a)$ .

Фредерик Брюннер · Answer 2

Состояние $f'(a)=f'(b)=0$ , означающее, что скорость обращается в нуль как в начале, так и в конце временного интервала, говорит нам о том, что частица в эти моменты времени покоится. Как следствие, во время движения частицы должно происходить как ускорение, так и замедление. Другими словами, ускорение должно быть как положительным, так и отрицательным. Поскольку наша функция дважды дифференцируема, мы предполагаем, что в ускорении нет скачков, т. е. она должна плавно перемещаться между положительными и отрицательными значениями и, следовательно, должна быть равна нулю в какой-то точке ( $\xi$ ). Поскольку среднее ускорение в правой части неравенства обращается в нуль из-за начального и конечного условий на скорость, неравенство превращается в равенство ( $0=0$ ).

Вывод: если частица стартует с некоторой скоростью (в нашем случае нулевой) и заканчивает с такой же (тоже нулевой), то ее ускорение должно быть как положительным, так и отрицательным в течение промежуточного интервала времени.

Каков физический смысл |f′′(ξ)|≤4(f(b)−f(a))(b−a)2|f″(ξ)|≤4(f(b)−f( a))(b−a)2|f''(\xi)|\leq\frac{4(f(b)-f(a))}{(ba)^{2}}, где f(t) f(t)f(t) — положение как функция времени?

лазер

Флавин

Тримок

Ответы (2)

Qмеханик

Тримок

Qмеханик

Фредерик Брюннер

Расчет ускорения по измерениям смещения

Кинематика с непостоянным ускорением

График расстояния, пройденного за энную секунду, со временем

Как я могу добавить вектор ускорения к скорости с другим направлением?

Нахождение ускорения и расстояния при заданной скорости

Средняя скорость: (v1+v2)/2(v1+v2)/2(v_1+v_2)/2

Когда векторы скорости и ускорения будут перпендикулярны? [закрыто]

Поезда, движущиеся с разной скоростью к станции C

Угловое, тангенциальное и центростремительное ускорение невращающегося объекта [закрыто]

Как рассчитать мгновенную скорость объекта на кривой? [закрыто]