Каков физический смысл коммутаторов в квантовой механике?

Самосопряженные операторы входят в КМ, описанную в комплексных гильбертовых пространствах, двумя логически различными путями. Это приводит к соответствующей паре значений коммутатора.

Первый способ перекликается с двумя другими возможными формулировками гильбертова пространства (вещественной и кватернионной): самосопряженные операторы описывают наблюдаемые .

Две наблюдаемые могут быть совместимыми или несовместимыми в том смысле, что они могут или не могут быть измерены одновременно (соответствующие измерения мешают друг другу при рассмотрении результатов). Вплоть до некоторых математических тонкостей коммутатор является мерой несовместимости с учетом обобщений принципа Гейзенберга, которые вы упоминаете в своем вопросе. Грубо говоря, чем больше коммутатор отличается по форме$0$, тем больше наблюдаемые взаимно несовместимы. (Подумайте о таких неравенствах, как$\Delta A_\psi \Delta B_\psi \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [A,B] \psi\rangle|$. Это предотвращает существование общего собственного вектора$\psi$из$A$а также$B$- наблюдаемые определены одновременно - так как такой собственный вектор проверял бы$\Delta A_\psi =\Delta B_\psi =0$.)

Другой способ, которым самосопряженные операторы входят в формализм КМ (здесь вещественная и кватернионная версии отличаются от комплексного случая), касается математического описания непрерывных симметрий. Фактически они представляют собой генераторы унитарных групп, представляющих (строго непрерывные) физические преобразования физической системы. Такое непрерывное преобразование представляется унитарной однопараметрической группой$\mathbb R \ni a \mapsto U_a$. Знаменитая теорема Стоуна действительно устанавливает, что$U_a = e^{iaA}$для единственного самосопряженного оператора$A$и все реалы$a$. Такой подход к описанию непрерывных преобразований приводит к квантовой версии теоремы Нётер как раз в силу того (очевидного!) факта, что$A$ также является наблюдаемым .

Действие группы симметрии$U_a$на наблюдаемом$B$выражается известной формулой на картинке Гейзенберга:

$$B_a := U^\dagger_a B U_a$$

Например, если$U_a$описывает повороты угла$a$вокруг$z$ось,$B_a$является аналогом наблюдаемого$B$измерено физическими инструментами, повернутыми$a$около$z$.

Коммутатор здесь представляет собой оценку первого порядка действия преобразования на наблюдаемую$B$, так как (опять же до математических тонкостей особенно касательно доменов):

$$B_a = B -ia [A,B] +O(a^2) \:.$$

Обычно информация, заключенная в коммутационных соотношениях, очень глубока. При работе с группами Ли симметрий он позволяет реконструировать все представление (на эту фундаментальную тему есть замечательная теория Нельсона) при некоторых довольно мягких математических гипотезах. Поэтому коммутаторы играют решающую роль в анализе симметрий.

Я хотел бы немного расширить интерпретацию коммутаторов как меру помех (связанных с несовместимостью, как упоминалось в других ответах). Моя интерпретация коммутатора заключается в том, что$[A,B]$количественно определяет степень действия$B$изменяет значение динамической переменной$A$, наоборот.

Предположим, что$A$является самосопряженным оператором с дискретным невырожденным спектром собственных значений$\{a\}$со связанными собственными наборами$\lvert a\rangle$. Тогда можно показать, что для любого оператора$B$, существует следующее разложение

$$B = \sum_{\Delta} B(\Delta),$$ такой, что $$[A,B(\Delta)] = \Delta B(\Delta),$$ куда $B(\Delta)$определяется ниже. Просмотр коммутатора $[A,.]$как линейный оператор, это имеет вид уравнения на собственные значения. Собственные значения $\Delta$задаются разностями между парами собственных значений $A$, например $\Delta = a'-a$. Конкретная форма собственных операторов $B(\Delta)$является $$B(\Delta) = \sum_{a} \langle a+\Delta\rvert B\lvert a\rangle \;\lvert a+\Delta\rangle\langle a\rvert.$$ Это свидетельствует о том, что $B(\Delta)$являются «лестничными операторами», которые увеличивают значение переменной $A$на сумму $\Delta$. Таким образом, коммутатор индуцирует естественное разложение $B$во вклады, изменяющие стоимость $A$на заданную сумму. Простым примером является хорошо известное коммутационное соотношение между спином $-1/2$операторы: $$[\sigma^z,\sigma^x] = \mathrm{i}2\sigma^y = +2\sigma^+ - 2\sigma^-.$$ Это говорит вам, что $\sigma^x$состоит из двух частей, которые либо увеличивают, либо уменьшают проекцию спина на $z$оси на две «единицы», что в данном случае означает $\pm 2\times\frac{\hbar}{2} = \pm \hbar$.

В общем, полный коммутатор

$$[A,B] = \sum_{\Delta} \Delta B(\Delta).$$ The $B(\Delta)$линейно независимы $^{\ast}$, поэтому коммутатор обращается в нуль, только если $B(\Delta) = 0$для всех $\Delta \neq 0$, т.е. если $B$не изменяет значение $A$. Если $[A,B]\neq 0$, можно получить меру того , насколько $B$изменения $A$путем вычисления нормы Гильберта-Шмидта (квадрата) коммутатора: $$\mathrm{Tr}\left\{[A,B]^{\dagger}[A,B]\right\} = \sum_{a,a'}(a-a')^2\lvert\langle a\rvert B \lvert a' \rangle\rvert^2.$$ Это сумма (квадратов) матричных элементов $B$которые связывают различные собственные состояния $A$, взвешенных по соответствующему изменению собственных значений (в квадрате). Таким образом, это четко определяет изменение $A$вызвано применением $B$.

Теперь не столь очевидная часть: что означает «изменение$A$применяя$B$" означает физически? Как заметил Вальтер, эволюция и преобразования в КМ формально осуществляются путем применения унитарных операторов , порожденных наблюдаемыми, а не путем применения самих наблюдаемых. Это связано с приведенным выше разложением следующим образом. Предположим, что мы берем$A$быть гамильтонианом$H$. Тогда нетрудно показать, что эволюция$B$в картине Гейзенберга дается

$$B(t) = e^{i H t} B e^{-i H t} = \sum_{\Delta} e^{i\Delta t} B(\Delta),$$ где здесь $\Delta$– боровские частоты рассматриваемой системы. Операторы перехода $B(\Delta)$можно интерпретировать как компоненты Фурье оператор-функции $B(t)$. В контексте теории возмущений мы часто аппроксимируем эффект унитарной эволюции применением эрмитова оператора (возмущающего гамильтониана), и в этом случае интерпретация операторов скачка ясна: они описывают переходы между собственными энергетическими состояниями, вызванные возмущение $B$. Осциллирующая временная зависимость в конечном итоге приводит к сохранению энергии как условию согласования частот.

Вряд ли это полный ответ на довольно оптимистичный вопрос «что физически означают коммутаторы». Однако это может дать пищу для размышлений любознательному студенту.

---

^{$^{\ast}$Это следует из того, что$B(\Delta)$ортогональны относительно внутреннего произведения Гильберта-Шмидта:}

$$\mathrm{Tr}\left\{ B(\Delta)^{\dagger} B(\Delta') \right\} = \delta_{\Delta,\Delta'} \sum_a \lvert \langle a \rvert B \lvert a+\Delta \rangle \rvert^2,$$ где символ Кронекера дельта $\delta_{\Delta,\Delta'}$равно 1, если $\Delta = \Delta'$, и 0 в противном случае.

На базовом уровне:

1) если$[A,B]=0$, и если$A$а также$B$являются бесконечно малыми образующими симметрии (а значит, и сохраняющимися величинами), это означает, что оба$A$является инвариантным$B$, а также$B$является инвариантным$A$.

Например,$[H,J_z]=0$, означает, что угловой момент сохраняется во время эволюции во времени и что гамильтониан инвариантен при вращении.

Как говорит @Valter Moretti, ненулевой коммутатор$[A,B]$измеряет отклонение от (обеих) симметрий.

2) Коммутаторы типа$[A, B] = \pm B$, если$A$связан с дискретным спектром, означает, что$B$является повышающим/понижающим оператором с "$A$-обвинение"$\pm 1$.

Очевидным примером является$[J_z, J_\pm]= \pm J_\pm$

3) Коммутационные отношения типа$[\hat A, \hat B]= i \lambda$, если$\hat A$а также$\hat B$являются наблюдаемыми, соответствующими классическим величинам$a$а также$b$, можно интерпретировать, рассматривая величины$I = \int a \,db$или же$J = \int b \,da$. Эти классические величины не могут быть выражены в квантовых наблюдаемых, потому что неопределенность этих величин всегда присутствует.$\lambda$.

Например,$[\hat x,\hat p] = i \hbar$показывает, что не существует квантовой наблюдаемой, соответствующей действию$S =\int (\vec p\,d \vec x - E\, dt)$.

Хотя это объяснение не очень «физическое» и вряд ли будет полезно начинающим изучающим квантовую механику, я думаю, что вся важная физика, содержащаяся в коммутаторе, в конечном итоге вытекает из формулы Цассенхауза .

$$e^{-it \left( \hat{A} + \hat{B} \right)} = e^{-it\hat{A}} e^{-it\hat{B}} e^{\frac{1}{2} it^2 \left[\hat{A}, \hat{B} \right]} \cdots,$$ где " $\cdots$" содержит члены кубической и выше в $\hat{A}$а также $\hat{B}$и может быть выражен как произведение экспонент линейных комбинаций вложенных коммутаторов. Если мы подумаем о $\hat{A}$а также $\hat{B}$поскольку эрмитовы операторы (что почти всегда входит в коммутаторы), соответствующие физическим наблюдаемым, то эта формула конкретно показывает нам, что их некоммутируемость приводит к тому, что они тонким образом «взаимодействуют друг с другом», так что их физические эффекты не могут быть разделены. То есть унитарное преобразование, которое генерирует их сумма (например, оператор перевода времени или симметрии), не является просто комбинированным эффектом каждой отдельной «части» генератора, действующего в одиночку. Из этого простого факта вытекают все странности квантовой механики. Более того, коммутатор является главным отклонением от классического результата.

Начнем с уравнения Шрёдингера:

$$\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right> = H\left|\psi\right>$$ С $H$является самодополняющим, это также означает $$\mathrm -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right| = \left<\psi\right|H$$ Теперь рассмотрим наиболее общее квантовое состояние, выраженное матрицей плотности $$\rho = \sum_k p_k\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|$$ Мы хотим знать производную по времени от матрицы плотности. Очевидно, что производная по времени является линейной, и мы также можем использовать правило произведения, чтобы получить $$\begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial t} &= \sum_k p_k\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right>\right) \left<\psi\right| + \left|\psi\right>\left(\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right|\right)\right)\\ &= \sum_k p_k\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(H\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|-\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|H\right)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}(H\rho - \rho H)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}[H,\rho] \end{aligned}$$ Итак, вы видите, что здесь вполне естественно появляется коммутатор.

Далее рассмотрим наблюдаемую$A$, и посмотрим на временную зависимость его математического ожидания$\left<A\right>=\operatorname{tr}(A\rho)$.

Используя линейность и циклическую инвариантность следа, получаем

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<A\right> &= \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{tr}(A\rho)\\ &= \operatorname{tr}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\rho\right) + \operatorname{tr}\left(A\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}(A[H,\rho])\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(A\rho H)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(HA\rho)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}([A,H]\rho)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[A,H]\right> \end{aligned}$$ Рассмотрим теперь особенно сохраняющуюся величину, не зависящую явно от времени (т. е. $\partial A/\partial t=0$). Конечно, если количество сохраняется, это означает, что его ожидаемое значение сохраняется. Приведенное выше уравнение немедленно дает $\left<[A,H]\right>=0$, а так как это должно быть верно для произвольного $\rho$, мы получаем $[A,H]=0$. То есть сохраняющаяся величина коммутирует с гамильтонианом. Обратите внимание, что все, что мы здесь сделали, это перетасовка коммутатора в трассе.

Теперь давайте более подробно рассмотрим гамильтониан. В классической механике для нерелятивистских задач мы можем записать гамильтониан как

$$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$$ и получить уравнение движения $$\begin{aligned} \dot x &= \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\\ \dot p &= -\frac{\partial H}{\partial x} = -V'(x) \end{aligned}$$ Теперь давайте попробуем, можем ли мы получить это хотя бы в среднем с помощью квантовой механики. С уравнением для средних мы имеем (поскольку ни $x$ни $p$явно зависят от времени) $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<x\right> &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[x,H]\right>\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\frac{1}{2m}\left<[x,p^2]\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[x,V(x)]\right>}_{=0}\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\left(\left<[x,p]p\right> + \left<p[x,p]\right>\right) \stackrel{!}{=} \frac{1}{m}\left<p\right> \end{aligned}$$ Теперь очевидно, что вы получите правильный результат, если $[x,p]=\mathrm i\hbar$. Также, $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<p\right> &= \left<[p,H]\right>\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[p,p^2]\right>}_{=0} + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[p,V(x)]\right> \stackrel!= \left<-V'(x)\right> \end{aligned}$$ Нетрудно проверить, что этот результат получается, если $p=-\mathrm i\hbar\partial/\partial x$, что также дает коммутационное соотношение, которое мы только что вывели.

Насчет связи с симметриями и соотношениями неопределенностей вы уже получили ответы (а сейчас уже совсем поздняя ночь), так что остановлюсь на этом.

Может быть полезно поручить учащимся следующую HW-проблему:

Предполагать$A$а также$B$быть двумя наблюдаемыми

i) При каком необходимом условии$A$а также$B$могут быть одновременно измерены в эксперименте без какой-либо неопределенности?

ii) Запишите все многочлены второй степени в$A$а также$B$которые снова являются наблюдаемыми.

iii) Предположим, что A — гамильтониан**. Время развивает состояние$|\psi\rangle$в течение времени$t$под$A$, и обозначим полученное таким образом состояние как$|\psi(t)\rangle$. Можем ли мы выразить$\displaystyle\frac{d\langle\psi(t)|B|\psi(t)\rangle}{dt}$в качестве$\langle\psi(t)|\mathcal{O}|\psi(t)\rangle$для некоторых наблюдаемых$\mathcal{O}$? Если да, найди$\mathcal{O}$.

** В этой задаче также можно взять$A$быть каким-то другим генератором симметрии, отличным от гамильтониана.

---

Добавлено позже:

• Когда коммутатор обращается в нуль, две наблюдаемые могут быть одновременно измерены в эксперименте без неопределенности (это следует из аксиом КМ).
• Ожидаемое значение коммутатора$i[H,A]$(где H - гамильтониан) в состоянии говорит о скорости изменения во времени ожидаемого значения$A$в этом состоянии. В более общем смысле математическое ожидание коммутатора$i[B,A]$в состоянии связано с бесконечно малым изменением математического ожидания$A$в этом состоянии при симметрии с одним параметром, порожденной$B$.
• Для двух заданных наблюдаемых$A$, а также$B$, их (i*) коммутатор$i[A,B]$и антикоммутатор$\{A,B\}$снова являются наблюдаемыми. Однако коммутатор чаще появляется в задачах КМ (и, возможно, имеет большее значение), чем антикоммутатор, из-за двух вышеуказанных моментов.