Квантовая механика с несколькими значениями ℏℏ\hbar

Наличие разных постоянных Планка для разных частиц нарушает закон сохранения энергии-импульса, если только разные типы частиц не взаимодействуют друг с другом. Это можно увидеть, следуя аргументам в « Новый тест квантовой механики: уникальна ли постоянная Планка? », E. Fischbach, GL Greene, RJ Hughes, Physical Review Letters 66 (1991) 256-259.

Рассмотрим простую нерелятивистскую одномерную систему двух бесспиновых частиц с одинаковой массой$m$но разные постоянные Планка$h_A$и$h_B$, взаимодействуя через потенциал$V$. Их гамильтониан равен

$$H=\frac{p^2_A}{2m}+\frac{p^2_B}{2m}+V(x_A-x_B) =\frac{P^2}{2M}+\frac{k^2}{m}+V(r)$$ где $r=x_A-x_B$, $k=(p_A-p_B)/2$, $M=2m$, и $P=p_A+p_B$. Постоянные Планка для каждой частицы связывают их импульс и положение через коммутационные соотношения $$[x_A,p_A]=i\hbar_A,\quad[x_B,p_B]=i\hbar_B, \qquad\textrm{with }[x_A,x_B]=[p_A,p_B]=0$$ Величина сохраняется, если она коммутирует с гамильтонианом, но мы находим, что $$[H,P]=[V(r),P]=i(h_A-h_B)\frac{\partial V}{\partial r}$$ который не равен нулю, если только $h_A=h_B$или $V(r)$не зависит от $r$(т.е. между частицами нет силы). Таким образом, для сохранения импульса две частицы должны иметь одинаковую постоянную Планка, иначе они не должны взаимодействовать.

Экспериментальные ограничения на различия в постоянной Планка устанавливаются тем, насколько хорошо работают такие теории, как квантовая электродинамика. Если бы разные типы заряженных частиц имели разные$h$, у каждого также будет свое значение постоянной тонкой структуры$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}$. Чрезвычайно хорошее согласие между измерениями$\alpha$в системах, включающих различные типы частиц, означает, что любые различия в постоянной Планка между этими частицами должны быть крошечными. Фишбах, Грин и Хьюз установили ограничения на дробные различия постоянных Планка электронов, фотонов и нейтронов при$< 10^{-7}$в 1991 г., а новые измерения установили еще более жесткие ограничения.

Вы также можете посмотреть ответ на похожие вопросы Почему постоянная Планка одинакова для всех частиц? и универсальность постоянной Планка .

Экспериментально единственность постоянной Планка устанавливается посредством измерений, основанных на фотоэффекте, эффекте Холла, излучении черного тела и т. д. Я не знаю ни одной серьезной работы, противоречащей этому утверждению.

Однако приведенная в вопросе операторная алгебра с двумя разными «планковскими» константами описывает правильную квантовую систему, хотя ее нельзя получить как квантование обычной коммутативной алгебры операторов сдвига в каноническом фазовом пространстве.$(\mathbb{R}^{2n}, dp_i\wedge dx^i )$(по крайней мере, ни в какой традиционной теории квантования).

По-другому, не оба$\hbar$s возникают как следствие процесса квантования, и классическая теория, полученная с помощью обычного классического предела, будет зависеть от их соотношения. Таким образом, независимая процедура ограничения двух$\hbar$s, подобные принятому в 9503023, упомянутом в комментариях выше, приведут не только к другим квантовым системам, но и к другим классическим системам.

Конструктивный способ получить эту операторную алгебру — начать с фазового пространства с неканонической симплектической структурой:

$$\omega = \frac{\hbar}{\hbar_1}dp_1 \wedge dx^1 + \frac{\hbar}{\hbar_2}dp_2 \wedge dx^2 + ...$$ (Это частный случай симплектического векторного пространства $\omega$) В этом случае скобки Пуассона примут вид: $$\left \{x_1, p_1 \right \} = \frac{\hbar_1}{\hbar}$$ $$\left \{x_2, p_2 \right \} = \frac{\hbar_2}{\hbar}$$ Когда эта алгебра квантуется по правилу: $$\left \{A, B \right \} = C \rightarrow \left [\hat{A} ,\hat{B} \right ] =i \hbar \hat{C}$$

Примечание

Можно масштабировать позиции и импульсы, чтобы сделать алгебру канонической. Однако математически масштабное преобразование изменяет симплектическую структуру, поэтому оно не является симплектоморфизмом; и, строго говоря, он описывает другую механическую систему.

Уникальность постоянной Планка может быть эвристически понята с точки зрения квантования интеграла по путям. Там пути взвешиваются комплексным коэффициентом:

$$e^{ i \frac{S}{\hbar}}$$ Где $S$это действие. Если мы считаем, что существует действие, описывающее все явления в природе (теория всего), и процедура, делающая путь Фейнмана строгим интегралом, то все системы природы будут подчиняться одной и той же постоянной Планка, той, что стоит в знаменателе комплекса фактор.

Однако люди используют разные представления о$\hbar$в различных областях исследований см. статьи в nlab о постоянной Планка и квантовании деформации .

Позвольте мне подробно остановиться на двух случаях: В случае классического фазового пространства$(\mathbb{R}^{2n}, dp_i \wedge dx^i)$, алгебра гамильтоновых векторных полей на$\mathbb{R}^{2n}$представление сдвигов на фазовом пространстве коммутативно. Эта алгебра действует на функции на фазовом пространстве, состоящие из классических наблюдаемых. После квантования трансляционные симметрии классической системы поднимаются, чтобы действовать на сечения линейного расслоения (состоящего из квантового гильбертова пространства). Поднятая алгебра больше не коммутативна. Он получает центральное расширение. В заданном представлении этой алгебры значение центра должно быть скаляром, поскольку оно коммутирует все остальные наблюдаемые. Значение этого скаляра равно$\hbar$, см. Tuynmann and Wiegerinck ). Это также является причиной того, что два$\hbar$s в вопросе не может иметь квантового происхождения, поскольку процесс геометрического квантования производит одно центральное расширение.

В задаче квантования спина можно получить геометрическое квантование двумерной сферы$S^2$( краткое введение см. в разделе 3.5 следующих лекций ). В этом случае классическая алгебра гамильтоновых векторных полей имеет вид$SU(2)$и он не получает центрального расширения при квантовании. Эта же алгебра действует на квантовом гильберовом пространстве. В этом случае постоянная Планка может быть введена только как масштабный множитель симплектической структуры:

$$\omega = \frac{i}{\hbar}\frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z} z)^2}$$ Где $z$- координата стереографической проекции сферы. Задача о геометрическом квантовании сферы имеет решение, только если обратная величина постоянной Планка ${1}{\hbar}$квантуется до $2S$где $S$является спиновым представлением квантового гильбертова пространства. Классический предел, соответствующий $\hbar \rightarrow 0$соответствует $S \rightarrow \infty$. Таким образом, очень большие спиновые представления соответствуют классическому пределу. Есть много работ, посвященных квантованию постоянной Планка, см., например, следующую работу Эли Хокинса.

Эти два примера иллюстрируют различие представлений о постоянной Планка в разных квантовых системах и то, почему концептуальная проблема единственности постоянной Планка до сих пор остается открытой.