Я изучаю КТП уже почти год, но до сих пор не совсем понимаю основную онтологию теории. Вот что я бы назвал «базовой онтологией» нерелятивистской квантовой механики:
Вы можете настроить это, чтобы охватить более общие физические системы, чем частица, или не требовать, чтобы мы говорили только с точки зрения представления положения, но это дает основную идею.
Я никогда не видел ничего подобного для QFT. Скажем, свободный электрон в КТП, представленный операторным полем , или состояние пространства Фока или их комбинация? Все вышеперечисленное для NRQM остается в силе с небольшими изменениями, или оно полностью устарело в QFT? Если уравнения эволюции во времени КТП (Клейна-Гордона, Дирака и т. д.) определяют эволюцию поля , то что определяет эволюцию состояния ?
Я интерпретирую вопрос так:
Каковы общие принципы QFT, концептуально?
Не уверен, что это тот ответ, который ищет ОП, но я попробую и посмотрю, как он будет получен. Это невозмущающая перспектива.
КТП представляет собой уточнение общих принципов квантовой теории. Общие принципы квантовой теории гласят, что наблюдаемые (измеримые вещи) представляются операторами, действующими в гильбертовом пространстве; но они мало говорят о том, какие виды наблюдаемых должна включать модель. Указание основных наблюдаемых (измеряемых вещей) и того, какие операторы их представляют, является задачей определения модели . КТП делает это относительно систематическим образом, как поясняется ниже.
Как только наблюдаемые были указаны, правила такие же, как обычно. Всякий раз, когда измеряется наблюдаемая, мы можем спроецировать состояние на одно из собственных пространств наблюдаемой с относительными частотами, определяемыми правилом Борна. То есть после измерения заменяем , где является оператором проектирования на наблюдаемую -th собственное пространство с относительными частотами , точно так же, как мы научились делать во вводном QM.
Ради ответа на данный вопрос я противопоставлю КТП другому классу моделей, которые я назову «квантовой механикой». Иногда «квантовая механика» используется как синоним общих принципов квантовой теории, но здесь я использую эти слова не так.
В классе моделей, которые я буду называть «квантовой механикой», наблюдаемые связаны с частицами .
В КТП наблюдаемые привязаны к областям пространства-времени .
Концептуально это, пожалуй, самое важное, что нужно понять о КТП: в ней нет наблюдаемых, привязанных к частицам. В КТП частицы — это явления, которые могут возникать, и решить, какие именно явления следует называть «частицами», может быть запутанным делом (за исключением тривиальных моделей).
В КТП наблюдаемые связаны с областями пространства-времени. Ради краткости я сделаю вид, что мы можем связать наблюдаемые с точками пространства-времени, игнорируя многие математические проблемы, которые это вызывает. В КТП связь между наблюдаемыми и областями (или точками) пространства-времени — это данные, определяющие конкретную модель. Эта ассоциация обычно требуется для удовлетворения некоторых основных условий, таких как эти:
Уравнения движения Гейзенберга (см. ниже) являются выражением этого принципа.
Принцип причинности Эйнштейна предотвращает общение со сверхсветовой скоростью. В нерелятивистской КТП (или в решетчатых конструкциях «релятивистской» КТП) мы можем смягчить это до: если две наблюдаемые связаны с разными точками в одно и то же время, то они коммутируют друг с другом. Между прочим, нерелятивистская КТП пересекается с тем, что я выше назвал «квантовой механикой». Подробнее об этом ниже.
Чтобы установить контакт с экспериментом, нам нужно знать, какие частицы предсказывает данная КТП и как они себя ведут. Это можно явно проработать в тривиальных моделях, где «тривиальное» означает, что «частицы не взаимодействуют друг с другом», но это очень сложно явно проработать в нетривиальных моделях. Подробнее об этом ниже.
Наблюдаемые в КТП обычно строятся в терминах полей , откуда, конечно же, и происходит название квантовой теории поля . Поля, как и наблюдаемые, привязаны к пространству-времени. Например, спинорное поле Дирака является оператором параметризуется точкой в пространстве и время и спинорный индекс , которые будут принимать значения в четырехмерном пространстве-времени. (Кстати, это совпадение; в -мерное пространство-время, число компонентов спинора Дирака растет экспоненциально с увеличением .)
Полевые операторы не обязательно должны удовлетворять тем же основным условиям, что и наблюдаемые. В частности, у нас могут быть фермионные поля, которые не коммутируют друг с другом на пространственно-подобных расстояниях, даже если наблюдаемые, построенные из этих полей, все же должны коммутировать друг с другом на пространственно-подобных расстояниях. Вот почему наблюдаемые должны включать произведение четного числа полей фермионов, а не нечетного числа.
В большинстве моделей наблюдаемые строятся с помощью калибровочных полей с пониманием того, что наблюдаемые инвариантны относительно калибровочных преобразований, даже если поля, из которых они построены, таковыми не являются. На эту тему можно еще многое сказать, слишком много, чтобы сказать здесь.
Вот еще одно основное условие, которое обычно налагается, по крайней мере, когда пространство-время плоское :
Пока неясно, как следует обобщать условие спектра для общего искривленного пространства-времени. Существует многообещающая идея, называемая «условием микролокального спектра», но она по-прежнему активно исследуется сегодня. Этот вопрос важен, потому что знание того, какое состояние следует использовать в качестве состояния вакуума , является предпосылкой для определения того, что такое «частица». Частицы — это вещи, которые можно сосчитать, а в вакууме их быть не должно. (Это правило нарушается в искривленном пространстве-времени. Я не буду вдаваться в подробности здесь, но я описал прагматичный подход в другом ответе .)
Вот идея: если является вакуумным состоянием, то наблюдаемая который строится из операторов поля, локализованных в заданной области и это удовлетворяет может быть использована в качестве модели устройства для подсчета частиц, локализованного в — за исключением того, что в релятивистской КТП это математически невозможно из-за знаменитой теоремы Ри-Шлидера . Лучшее, что мы можем сделать, — построить локальную наблюдаемую, которая приблизительно аннулирует состояние вакуума. Отчасти поэтому определение того, что «частица» должно означать в КТП, немного запутано.
При анализе тривиальных моделей мы можем обойти это, рассматривая нелокальные операторы подсчета частиц. Рецепт состоит в том, чтобы выразить заданный полевой оператор как сумму членов с положительной и отрицательной частотами, называемых операторами создания и уничтожения . (Эти операторы обязательно нелокальны в пространстве.) Из них мы можем построить -состояния частиц и операторы подсчета частиц, как описано во многих учебниках. В нетривиальных моделях это становится намного сложнее. Это может быть основной причиной того, почему QFT так сложно освоить.
В строго нерелятивистской КТП эти сложности исчезают, и мы можем явно построить -частичные состояния даже в нетривиальных моделях. Поскольку в нерелятивистской КТП число частиц сохраняется, мы можем даже рассмотреть подмодель, состоящую только из состояний с заданным числом частиц. Для состояний с не более чем одной частицей каждого вида получается то, что я называю «квантовой механикой», в которой наблюдаемые могут быть связаны с отдельными частицами.
Если мы рассмотрим состояния, имеющие более одной частицы одного и того же вида, даже если их общее число фиксировано, тогда наблюдаемые все равно должны быть привязаны к пространству-времени. Традиционный способ сказать это состоит в том, чтобы сказать, что частицы «неразличимы».
Если уравнения эволюции во времени КТП (Клейна-Гордона, Дирака и т. д.) определяют эволюцию поля, то что определяет эволюцию состояния?
Описанная выше формулировка использует картину Гейзенберга, в которой поля (и наблюдаемые) параметризуются временем, а состояния — нет. С некоторыми предположениями о структуре модели мы можем переключиться на картину Шрёдингера, в которой состояния параметризуются временем, а наблюдаемые — нет. В картине Шрёдингера уравнение, описывающее эволюцию состояний во времени, является обычным уравнением Шрёдингера.
Уравнения движения Гейзенберга и коммутационные соотношения для полевых операторов обычно строятся с использованием канонического рецепта квантования, начиная с «классического» лагранжиана. (Я взял «классический» в кавычки, потому что он может включать антикоммутирующие фермионные поля.) Однако у нас также могут быть нелагранжевы КТП — что-то, что могло бы показаться очень загадочным, если бы мы считали каноническое квантование определением КТП .
В формулировке, описанной выше, наблюдаемые являются главными действующими лицами. Существуют и другие формулировки, такие как формула интеграла по путям, которые могут быть более удобными для вычисления таких вещей, как корреляционные функции. Корреляционные функции неявно содержат все, что нужно знать о модели, и они особенно удобны для изучения процессов рассеяния — после использования некоторых тонких ухищрений (таких как формула редукции LSZ ), чтобы связать их с частицами теории .
Формулировка интеграла по траектории предлагает другой способ мышления о КТП, который открывает двери для новых видов понимания. Для людей, которые уже знакомы с основами теории категорий, относительно краткое введение в эту идею можно найти в «Современной точке зрения на аномалии», https://arxiv.org/abs/1903.02828 .
Несмотря на то, что он существует уже давно, лучший способ думать о QFT может быть чем-то, что мы еще не придумали. Это мнение выразил физик-математик Юдзи Татикава в презентации, которая начинается с этих слайдов (после ностальгического вступления):
Титульный слайд: Что такое квантовая теория поля?
Следующий слайд: Я не знаю.
Следующий слайд: КОНЕЦ. Спасибо за то, что вы слушали.
Космас Захос
Ян Лалински
УиллГ
Аарон
Космас Захос
Космас Захос
д_б
Хиральная аномалия