Отсутствует элемент идентичности в отношении Клиффорда

Может быть проще написать все в терминах явных индексов,

$$\gamma^\mu_{\alpha \beta} \gamma^\nu_{\beta \delta} + \gamma^\nu_{\alpha \beta} \gamma^\mu_{\beta \delta} = 2 \eta^{\mu\nu} \delta_{\alpha \delta}.$$ есть сумма свыше $\beta$слева. Когда вы подставляете явные значения для $\alpha$, $\delta$, $\mu$, и $\nu$, обе стороны просто числа. Индексы $\mu$и $\nu$- индексы Лоренца, описывающие свойства преобразования Лоренца обеих сторон. Индексы $\alpha$, $\beta$, и $\delta$являются спинорными индексами, которые преобразуются другим образом. Полное совпадение, что оба они колеблются от $1$к $4$.

Вы можете видеть, как это выглядит неуклюже, поэтому мы могли бы просто исключить спинорные индексы,

$$(\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu)_{\alpha \delta} = 2 \eta^{\mu\nu} \delta_{\alpha \delta}.$$ Тогда матричное умножение в левой части становится неявным. Мы можем пойти еще дальше и полностью подавить спинорные индексы, что даст $$\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu\nu}.$$ Проблема в том, что левая сторона по-прежнему явно $4 \times 4$матрица в спинорном пространстве, но правая часть, похоже, вообще не имеет спинорных индексов. Они есть, но нет простого способа показать это. Вы могли бы написать $\eta^{\mu\nu} 1_4$справа, но это вызывает некоторую путаницу, поскольку выглядит как $1_4$умножает $\eta^{\mu\nu}$. Вы не можете указать, что это единичная матрица в спинорном пространстве. Обычная сокращенная запись не идеальна, но это один из лучших вариантов, которые у нас есть.

Попробуем обобщить характеристики$\gamma$-матрицы и метрический тензор для плоского пространства Минковского. Сначала наш$\eta^{\mu\nu}$может быть представлен матрицей

$$\eta^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \newline 0&-1&0&0\newline 0&0&-1&0\newline 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}.$$

Теперь вы интерпретируете$\eta^{\mu\nu}$как$\mu\nu$-компонента этой матрицы. Так что нет смысла так говорить$\eta^{00} = I_4$но можно сделать вывод, что$00$-компонента вашего метрического тензора идентична$00$-компонент$I_4$($I^{00} = 1$).

Если вы посмотрите на$(\gamma^\mu)^2$тогда вы можете показать следующую личность

$$2\eta^{\mu\mu}I_4=\{\gamma^\mu;\gamma^\mu\} = \gamma^\mu \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^\mu = 2(\gamma^\mu)^2.$$

Для недиагональных элементов вы получите аналогичный результат

$$2\eta^{\mu\nu}I_4=\{\gamma^\mu;\gamma^\nu\} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = \gamma^\mu\gamma^\nu - \gamma^\mu\gamma^\nu = 0 \cdot I_4.$$

FWIW, аналогичная проблема возникает в CCR

$$[\hat{q}^j, \hat{p}_k]~=~i\hbar ~\delta^j_k \hat{\bf 1}$$

алгебры Гейзенберга, где авторы часто не пишут тождественный оператор$\hat{\bf 1}$явно.