Перенос корреляций CFT из R3R3\mathbb{R}^3 в S3S3S^3

Оба$\mathbb{R}^3$и$S^3$явно являются симметричными пространствами ранга 1, как однородные пространства они задаются формулой:

$$\mathbb{R}^3 = ISO(3)/SO(3)$$

и

$$S^3 = SO(4)/SO(3)$$

Смысл того, что они являются симметрическими пространствами ранга 1, состоит в том, что на них существует только один «двухточечный» инвариант, т. е. любая функция двух точек$r_1$и$r_2$инвариантный относительно группы автоморфизмов ($ISO(3)$в случае$\mathbb{R}^3$и$SO(4)$в случае$S^3$) должна быть функцией одного двухточечного инварианта, который можно принять за геодезическое расстояние:

$$d(r_1, r_2) = |r_1-r_2|$$

в случае$\mathbb{R}^3$и

$$d(r_1, r_2) = \frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{1+\frac{r_1}{R}^2}\sqrt{1+\frac{r_2}{R}^2}}$$

В стереографической проекции координаты$S^3$($R$радиус сферы).

Таким образом, эта замена является естественной для сохранения инвариантности. Также в пределе, когда радиус сферы стремится к бесконечности,$\mathbb{R}^3$функции получены

Более глубоко,$ISO(3)$можно получить из$SO(4)$в результате процесса деформации, называемого сокращением Вигнера-Инёню. См. следующую пояснительную статью Шу-Хэн Шао. Это сингулярный предел, и нельзя ожидать гладких отображений от$R \leq \infty$к$R = \infty$ведь топология другая.

По этой причине нельзя ожидать, что сокращение групповых представлений будет один к одному, см. недавнюю статью Б. Каэна о сокращении групповых представлений. Например, унитарные неприводимые представления некомпактных групп бесконечномерны, а компактных групп конечномерны, но известно, что дискретные представления некомпактных групп в пределе переходят в (всегда дискретные) представления компактных групп.

Теперь две точечные функции можно разложить в суммы собственных функций лапласиана, несущего групповые представления.

Известным примером является тепловое ядро, которое можно разложить по собственным значениям лапласиана, зависит в квазиклассическом пределе исключительно от геодезического расстояния:

$$K(r_1, r_2, \beta) = \sum_{n} \psi_n^*(r_1)\psi_n(r_2) e^{-\beta E_n} \sim \mathrm{Hessian}(d(r_1,r_2)^2)e^{-\frac{d(r_1,r_2)^2}{4\beta}}$$

Где$\psi_n$является собственной функцией лапласиана, соответствующей энергии$E_n$. Эти функции несут представления группы автоморфизмов, которые имеют пределы при сжатии.

Таким образом, чтобы получить аналогичную двухточечную функцию на сфере, гармонические функции следует заменить соответствующими собственными функциями лапласиана на сфере. В этом случае автоматически получается геодезическое расстояние на сфере в пределе.