Недавние вопросы Моше о формализации квантовой теории поля и решеток в качестве определения теории поля напоминают мне кое-что, о чем я иногда лениво задумываюсь, и, возможно, этот сайт может дать мне ответ. Есть ли какие-нибудь математики, работающие над определением квантовой теории поля, начав со строгого определения КТП и двигаясь оттуда?
Причина, по которой я спрашиваю, заключается в том, что я думаю, что именно так большинство из нас, физиков, думают о квантовой теории поля (то есть в вильсоновском ключе): чтобы определить КТП, вы начинаете с фиксированной точки УФ-излучения и деформируете ее с помощью некоторых соответствующих оператор. Итак, если бы у вас была общая теория КТП, вы бы знали, как понять, как КТП реагируют на внешние источники для операторов, а получение более общей КТП означало бы «просто» включение пространственно однородного источника для некоторого оператора и наблюдение за тем, как он реагирует .
Другим объектом, который мы изучаем, является «эффективная теория поля», которую вы можете представить на этом языке как КТП, служащую фиксированной точкой ИК, вместе с некоторым понятием класса эквивалентности нерелевантных операторов, деформирующих «вверх» от этой точки (будучи независимо от того, достигнете ли вы когда-либо фиксированной точки UV).
Очень (чрезвычайно) наивно, я подозреваю, что математикам может повезти больше, если они изучат пространство КТП, чем попытаются начать со всех КТП. И вы можете представить, что этот подход хорошо подходит для вопросов, которые могут интересовать физиков (например, существует ли « а -теорема» или что-то подобное, аналогичное с - теореме в двух измерениях, характеризующее ренормгрупповые потоки как необратимые). ).
Аксиоматическая/алгебраическая/конструктивная теория поля, по-видимому, заботится обо всех видах теории поля одновременно, а другие математики, похоже, пытаются откопать интересную структуру в теории возмущений, что, я не уверен, когда-либо приведет к прогрессу в непертурбативном понимании поля. теория. Я знаю, что есть математики, работающие над КТП. (Я нашел этот вопрос MathOverflow , в котором есть много ссылок на работу математиков над CFT, например.) Но мне интересно, пытался ли кто-нибудь работать над CFT как путем к более общему пониманию QFT.
CFT состоит для большинства математиков, которые интересуются этой темой, в настоящее время изучают алгебры вершинных операторов, см. этот вопрос о математическом переполнении:
Вы можете найти немного больше о теме и работе нескольких математиков здесь:
Как видно из ответов на mathoverflow, вершинные алгебры не были придуманы для изучения CFT, а то, что они образуют аксиоматическую абстракцию произведений операторной алгебры, было замечено лишь позже.
Личное и очень субъективное замечание: не следует недооценивать объем теоретической физики, необходимый для понимания того, что такое КТП для физиков. Большинство математиков, которые впервые со школьной скамьи знакомятся с физикой через какую-то структуру QFT, кажется, совершенно ошеломлены высокой платой за вход, которую им придется заплатить, чтобы понять это. Это мое личное объяснение того наблюдения, что большинство математиков изучают формальные механизмы только для того, чтобы использовать их для доказательства некоторых новых математических теорем, и очень редко для того, чтобы лучше понять, чем занимаются физики. Хотя вы найдете довольно много работ довольно известных математиков, если вы перейдете по ссылкам выше, AFAIK, никто не выполняет работу, которую вы описываете.
Любош Мотл
пользователь566
Колумбия
пользователь1504