Читая раздел 9.4 в Peskin, я задаюсь вопросом о следующем:
Функциональный интеграл на расходится для чисто калибровочных конфигураций, потому что для этих конфигураций действие равно нулю.
Чтобы «исправить» это, мы признаем, что в любом случае нам не хотелось бы получать вклады от чисто калибровочных конфигураций поля, потому что конфигурации поля на одной и той же калибровочной орбите соответствуют идентичным конфигурациям физического поля. В конечном счете, мы хотели бы получить функциональный интеграл, который пробегает только отдельные калибровочные орбиты, каждый раз беря только одного представителя от каждой калибровочной орбиты.
Технический способ сделать это состоит в том, чтобы вставить функциональную дельта-функцию в функциональный интеграл, где эта дельта-функция всегда равна нулю, если только конфигурация поля не подчиняется определенному калибровочному условию, которое не равно нулю только один раз на каждой калибровочной орбите.
Все идет нормально.
Однако тогда Пескин выбирает в качестве калибровочного условия калибровочное условие Лоренца. Мне интересно: почему это действительно? Условие калибровки Лоренца не полностью фиксирует калибровку : все еще можно производить дальнейшие калибровочные преобразования с помощью гармонических функций.
Что дает?
Калибровочная симметрия означает, что уравнения движения не определяют эволюцию всех конфигурационных переменных однозначно, т. е. что система Эйлера — Лагранжа недоопределена. Каноническим примером является случай классической электродинамики, где уравнения движения
Любая конфигурация формы , для произвольного , тривиально решает эти уравнения, а значит, при заданном решении , конфигурация также является решением. Следовательно, решение уравнений движения неоднозначно, система недоопределена и имеет место калибровочная симметрия. Даже если мы исправим на поверхности, где заданы начальные условия, функция может быть ненулевым в любой момент времени, и, следовательно, оба а также решить уравнения движения и удовлетворить начальным условиям.
Когда система недоопределена, система не имеет четко определенной функции Грина, поскольку, если бы последняя существовала, система могла бы эволюционировать от своих начальных условий к уникальному решению в более позднее время. В этом смысле калибровочная теория не имеет пропагатора. В классическом случае это не представляет проблемы, но в квантово-механическом случае это катастрофа по обычным причинам (которые мы не будем здесь обобщать).
Общий анализ калибровочных систем можно найти, например, в ссылке 1, которую мы рекомендуем прочитать OP и всем, кто заинтересован. Короче говоря, краеугольным камнем теории является вторая теорема Нётер, которую можно резюмировать как внешнее тождество формы
Конечно, любое преобразование формы
Рассмотрим, например, скалярную теорию с уравнениями движения
Эта система инвариантна относительно , куда любая функция, которая удовлетворяет
Является ли это преобразование калибровочной симметрией? Конечно нет! Это преобразование тривиально в том смысле, что оно является просто проявлением линейного характера уравнений движения. Если равен нулю на поверхности, где заданы начальные условия, то он будет равен нулю и в любой последующий момент времени, поскольку вынужден удовлетворять . Преобразование не является избыточностью, поскольку ограничивается удовлетворением уравнения, решение которого единственно; фиксация на поверхности Коши фиксирует эту функцию в любой более поздний момент времени, поэтому она не представляет собой новую степень свободы.
Рассмотрим теперь наш первоначальный пример, уравнения движения электродинамики, но теперь давайте введем калибровку Лоренца, . Уравнения движения читаются
Вы можете возразить, что если лагранжиан фиксированной калибровочной теории инвариантен относительно , с , то функциональный интеграл должен расходиться, так как в конфигурационном пространстве есть направления, где лагранжиан постоянен. Убедитесь сами, что это не так, сравнив эту инвариантность с ранее обсуждавшейся инвариантностью при с . Функциональный интеграл скалярного поля, несмотря на эту инвариантность, не расходится, и причина именно в неприменимости второй теоремы Нётер: инвариантность тривиальна и не приводит к недоопределенной системе уравнений движения. В эвристическом смысле можно сказать, что условие является достаточно ограничительным, так что преобразование имеет нулевую меру в пространстве конфигураций поля — она не дает вклада в функциональный интеграл.
использованная литература
Любопытный Разум
Никос М.
Артуро дон Хуан