Можем ли мы вычислять интегралы по траекториям в калибровочных теориях, не фиксируя калибровку?

Вы неправильно понимаете, что такое калибровочная теория, если считаете, что в какой-то момент мы не должны избавляться от калибровочной симметрии. Калибровочная симметрия не похожа на другие симметрии, она не связывает конфигурации динамических переменных, которые физически различны - вместо этого она связывает конфигурации динамических переменных, которые физически неразличимы . Между любой конфигурацией и ее калибровочно-преобразованной версией вообще нет заметной разницы . В отличие, скажем, от вращательной симметрии, где вектор, указывающий в одном направлении, отличается от его повернутой версии, в этом случае действительно нет физически значимого различия между конфигурациями, связанными калибровочными симметриями. См. также, например,этот вопрос , этот вопрос , этот вопрос и многое другое.

Калибровочные симметрии отражают избыточность переменных, выбранных нами для описания системы, они полностью являются особенностями конкретного теоретического выбора , а не неотъемлемыми свойствами рассматриваемой физической системы, такими как, например, вращательная симметрия. Поэтому нет необходимости пытаться сохранить эту симметрию — если она потеряется в эквивалентном, но более удобном описании системы, мы не должны колебаться. Любопытно, что довольно часто калибровочное теоретическое описание оказывается наиболее удобным.

За исключением, конечно, случаев, когда мы хотим делать такие вещи, как интеграл по путям. Проведение наивного интеграла по путям по действию с нефиксированной калибровочной симметрией явно физически абсурдно : вы интегрируете по пространству динамических переменных, где каждая их конфигурация имеет бесконечно много различных конфигураций, описывающих одно и то же состояние точно такая же физическая система , и вы интегрируете их все. Что это должно быть? Это, конечно, не интеграл по всем возможным физическим путям, он сильно пересчитывает их, и у вас нет возможности контролировать способ, которым он это делает.

Естественный интеграл по физическим путям — это интегрирование по каждой физически отличной конфигурации один раз. Когда мы полностью фиксируем калибровку, это именно то, что делает фиксация калибровки: из всех возможных эквивалентных конфигураций условие калибровки выбирает одного и только одного представителя, и затем мы хотим проинтегрировать по этому пространству представителей, поскольку это пространство физически различных конфигураций. К сожалению, неоднозначности Грибова означают, что мы обычно не можем сделать это во всем пространстве конфигураций поля и можем застрять, определяя интеграл по путям только по подмножеству физических конфигураций, так называемой области Грибова.

Поэтому неразумно ожидать интеграла по траекториям без фиксированной калибровки. Интеграл по траекториям по самой своей цели должен интегрироваться по пространству всех физически различных конфигураций, и способ добиться этого в калибровочной теории — это какой-то способ фиксации калибровки, избежать этого факта невозможно.

На сегодняшний день никто не знает, как канонически квантовать классическую теорию с калибровочными симметриями. Стандартный подход (алгоритм Дирака), когда канонические скобки заменяются (анти)коммутаторами, не имеет смысла, если симплектическая форма вырождена. См. « Квантование калибровочных систем » Марка Хенно и Клаудио Тейтельбойма для полного обсуждения этого. На практике, чтобы сформулировать непротиворечивую теорию в каноническом формализме, нужно сначала устранить калибровочные симметрии, либо превратив их в ограничения (второго класса), либо более изощренными методами.

Второй, более прямой подход состоит в том, чтобы следовать квантованию Фейнмана, где мы постулируем, что матричные элементы могут быть вычислены из функционального интеграла,

$$A\sim\int a(\varphi)\ \mathrm e^{iS[\varphi]}\ \mathrm d\varphi$$

Попытки формализовать приведенный выше интеграл в необходимой степени не увенчались успехом. Возможный подход к дискретизации пространства конфигураций поля имеет два возможных результата: формулировка решетки либо нарушает калибровочную инвариантность (в этом случае мы существенно зафиксировали калибровочную инвариантность посредством регуляризации), либо нет (в этом случае интеграл расходится, так как мы интегрируем по$\mathbb R^n$функция, не затухающая в некоторых направлениях). В любом случае мы видим, что наивная реализация подхода Фейнмана также не может работать.

Даже в самом прагматическом смысле квантовая теория плохо определена при наличии калибровочных симметрий: если мы соберемся, чтобы обойти все формальные манипуляции и определить теорию через ее правила Фейнмана (формально говоря, через формулу Хори ),

$$Z[J]\sim \mathrm e^{iS_\mathrm{int}[\delta]}\mathrm e^{-\frac i2 J\cdot \Delta\cdot J}$$ куда $\Delta$является обратной квадратичной частью лагранжиана, программа не работает, потому что $$\mathcal L_0\equiv\frac 14 F^2$$ не является обратимым.

Ни один из этих подходов не работает. Проблема восходит к представлениям группы Пуанкаре. Можно показать, используя свойства группы Пуанкаре, но не касаясь лагранжианов или интегралов по траекториям, что пропагатор произвольного векторного поля равен

$$\Delta(p)=\frac{-1+pp^t/m^2}{p^2-m^2}-\frac{pp^t/m^2}{p^2-\xi m^2}$$ куда $m$это масса спина $j=1$частицы, создаваемые векторным полем, и $\xi\equiv m^2/m_L^2$, куда $m_L$это масса спина $j=0$частицы, создаваемые векторным полем.

Легко проверить, что пределы$\xi\to\infty$а также$m\to 0$оба четко определены по отдельности, но вы не можете взять оба предела одновременно. Это означает, что вы не можете одновременно иметь векторное поле, создающее безмассовое вращение.$j=1$частицы и отсутствие продольных состояний. Так что вы должны либо

• использовать массивные частицы, как в лагранжиане Прока,
• принять, что могут быть отрицательные нормальные состояния, как в$R_\xi$КЭД,
• или что поле, создающее частицы, не является вектором, как в КЭД в кулоновской калибровке.

В первом случае термин$\frac 12 m^2 A^2$, а во втором случае член$\frac 12\xi^{-1}(\partial\cdot A)^2$, нарушает калибровочную инвариантность лагранжиана. В третьем случае калибровка фиксируется связью. Ни в одном из этих случаев лагранжев калибровочный инвариант не является.

В калибровочной теории решетки на конечной решетке объем$vol(\mathcal{G})$группы групповых преобразований конечна, так как$\mathcal{G}$является конечным произведением копий калибровочной группы$G$. Интеграл$\int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$над пространством решеточных связностей также конечна. Следовательно, можно вычислить значения ожидания без какой-либо фиксации калибровки, просто вычислив

$$\frac{1}{vol(\mathcal{G})} \int_{\mathcal{F}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$$ что равно $\langle \mathcal{O} \rangle = \int_{\mathcal{F}/\mathcal{G}} \mathcal{O}(\phi) e^{-S(\phi)} d\phi$, пока наблюдаемая $\mathcal{O}$является калибровочно-инвариантным.

Калибровочная фиксация удобна с точки зрения вычислений, особенно для согласования с теорией возмущений на коротких расстояниях, но на самом деле не необходима.