Вопрос о методе Фаддеева-Попова для фиксации калибровки

Правильный способ исправления калибровки в интеграле по путям состоит в том, чтобы вставить определитель Фаддеева-Попова и добавить дельта-функциональное ограничение. Заключительное действие содержит три вклада: поле Янга-Миллса (пока я имею дело с полем Янга-Миллса), призрачную часть и часть с фиксированной калибровкой.

Таким образом, статистическая сумма тогда

Z [ Дж ] "=" ∫ Д А мю а Д с а Д с ¯ а опыт ⁡ ( я ( С Д М + С г час + С г ф ) )
где
С г ф "=" − ∫ г 4 Икс 1 2 ξ ( ∂ мю А мю а ) ( ∂ ν А ν а )
является фиксированным калибровочным действием.

Теперь мне было интересно, не заставляет ли это статистическую сумму явно зависеть от выбора калибровки? Я имею в виду: мы вычисляем такие вещи, как корреляционные функции, из статистической суммы. Как тогда эти результаты не зависят от конкретных условий фиксации датчика, которые у нас были? Или это на самом деле не проблема?

Убедиться, что статистическая сумма не зависит от выбора функции, фиксирующей калибровку, как раз и является целью трюка Фаддеева-Попова. Это должно быть тщательно подчеркнуто в любом учебнике по этому предмету.
@AccidentalFourierTransform. Вы имеете в виду трюк, в котором вы отделяете интегрирование от калибровочных преобразований? ∫ Д U ? Это вносит свой вклад в общую константу нормализации. Является ли этот шаг гарантией того, что окончательный результат не зависит от фиксации калибровки?

Ответы (2)

Интеграл по траекториям и наблюдаемые независимы. 1 условия фиксации калибровки. Возможно, подойдет простой игрушечный пример:

  • Пример игрушки: представьте себе действие С 0 это не зависит от переменной Икс . Другими словами, Икс является калибровочной переменной. Позволять ф ( Икс ) ≈ 0 быть условием фиксации калибровки. Здесь калибровочно-фиксирующая функция ф предполагается принадлежащей классу дифференцируемых монотонно возрастающих функций с простым нулем.

    Рассмотрим полное действие с фиксированным калибром

    (1) С   "="   С 0 + С Ф п + С г ф , С Ф п   "="   с ф ′ ( Икс ) с ¯ , С г ф   "="   λ ф ( Икс ) ,
    где с и с ¯ являются грассман-нечетным призраком Фаддеева-Попова и антипризраком соответственно, а где λ является множителем Лагранжа.

    Интеграл пути игрушки

    (2) Z ф   "="   ∫ г Икс   г с ¯   г с   г λ   опыт ⁡ ( я ℏ С )   "=" ( 1 )   ∫ г Икс   опыт ⁡ ( я ℏ С 0 )   ⋅   я ℏ ф ′ ( Икс )   ⋅   2 π ℏ дельта ( ф ( Икс ) )   "="   ∫ г Икс   опыт ⁡ ( я ℏ С 0 )   2 π я   дельта ( Икс − Икс 0 )   "="   2 π я опыт ⁡ ( я ℏ С 0 )
    не зависит от функции фиксации калибровки ф в вышеупомянутом классе! В уравнении (2) мы использовали интеграл Березина ∫ г с   с "=" 1 и представление Фурье дельта-распределения Дирака .

    См., например, этот пост Phys.SE для другого простого игрушечного примера.

Для более систематического обсуждения независимости выбора фиксации калибровки с точки зрения БРСТ см., например, этот связанный пост Phys.SE.

--

1 В этом ответе мы пропускаем различные технические мелочи, такие как, например, топологические препятствия и т. д.

Логика в вашем ответе излагает процедуру Фаддеева-Попова немного в обратном направлении. Должен быть:

  • Поскольку интеграл по путям интегрируется по различным физическим состояниям, теория определяется интегралом по путям по калибровочно-неэквивалентным конфигурациям калибровочного поля, Z "=" ∫ Д А ′ е я С
  • Этот интеграл труден, потому что пространство калибровочно-неэквивалентных конфигураций сложно.
  • В процедуре Фаддеева-Попова мы «умножаем на 1», чтобы преобразовать континуальный интеграл в Z "=" ∫ Д А е я С ′ , где мера Д А формально ведет себя как некалибровочное поле, избыточно интегрируя по калибровочно-эквивалентным конфигурациям, и, следовательно, с ним легче обращаться.
  • В процессе действие приобретает дополнительные термины «призрак» и «фиксация калибровки», С ′ "=" С + С девушка + С гх .

Неважно, какое условие фиксации калибровки, мы действительно вычисляем одно и то же с самого начала, поэтому результат не должен зависеть от процедуры фиксации калибровки.

Однако некоторая путаница понятна, потому что в первом классе КТП логика часто отсутствует. Как правило, можно заметить, что каноническое квантование не работает для лагранжиана КЭД, затем искусственно добавить к лагранжиану термин «фиксация калибровки» и двигаться дальше без комментариев. В этом случае действительно необходимо обосновать, что результаты не зависят от фиксации калибровки. Процедура Фаддеева-Попова как раз и является таким оправданием.

Вопрос о методе Фаддеева-Попова для фиксации калибровки
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v