Каково происхождение «алгебры» в векторном пространстве с умножением?

На самом деле все произошло в обратном порядке, сначала появились алгебры, а уже потом векторные пространства. Историю векторного пространства см. Когда люди начали рассматривать матрицу как линейное преобразование между двумя векторными пространствами? Современную их аксиоматизацию Пеано дал только в 1888 г. и назвал их линейными системами. Но использование «алгебры» в самом современном смысле восходит к 1870 году, когда Бенджамин Пирс (отец К. С. Пирса, известного тем, что изобрел материальную условную алгебру и придал булевой алгебре ее современную форму) ввел ее в своих мемуарах «Линейная ассоциативная алгебра», прочитанных до Национальной академии США (опубликовано в 1881 г.). Он объяснил это так:

Все отношения либо качественные, либо количественные. Качественные отношения можно рассматривать сами по себе, безотносительно к количеству. Алгебра таких исследований может быть названа логической алгеброй, прекрасный пример которой дает Буль. Количественные отношения также могут рассматриваться сами по себе. безотносительно к качеству. Они принадлежат арифметике, и соответствующая алгебра является общей или арифметической алгеброй. Во всех других алгебрах оба отношения должны быть объединены, и алгебра должна соответствовать характеру отношений. Символы алгебры, с законами сочетания составляют его язык; методы использования символов в построении выводов — это его искусство; и их интерпретация является его научным приложением. Этот тройной анализ алгебры заимствован у президента Хилла из Гарвардского университета и положен в основу разделения на книги » (выделено мной жирным шрифтом).

Как указывает цитата, использование «алгебры» в более широком смысле для системы объектов со «сложением» и «умножением» предшествовало Пирсу. «Линейная ассоциативная алгебра» — это именно то, что мы сегодня называем алгеброй над$\mathbb{C}$в узком смысле. Альтернативным термином, использовавшимся в то время, был «гиперкомплексная система счисления», и эта область была активной областью исследований после открытия Гамильтоном кватернионов и «геометрической алгебры» Грассмана. Во второй половине 19 начале 20 века в нем работали Кэли, Сильвестр, Фробениус, Веблен, Веддерберн и др. Знаменитая классификация алгебр с делением над$\mathbb{R}$( теорема Фробениуса ) относится к этому периоду.

Различные связи с геометрией, уже присутствующие у Гамильтона и Грассмана, также подробно исследовались, особенно после того, как Кляйн продвинул Эрлангенскую программу, см. Какова была мотивация для пространства-времени Минковского до специальной теории относительности? В дополнение к современной алгебраической геометрии эта область была важным инкубатором идей и методов, которые позже были преобразованы в современную абстрактную алгебру Эмми Нётер и ван дер Варден в 1920-х годах. Именно тогда определение было расширено за пределы$\mathbb{C}$к алгебрам над произвольными полями. Чтобы узнать больше об этой более поздней истории, см. Какова была эволюция «базиса» и «порождающего множества» в алгебре?

Авторитетным историческим трудом, посвященным зарождению линейных ассоциативных алгебр, является книга Паршалла «Джозеф Х. М. Веддерберн и теория структуры алгебр» . Очень проницательный и хорошо написанный (хотя и менее исторически строгий) отчет о работе 19-го века над гиперкомплексными числами и кляйнианской геометрией — это Felix Klein and Sophus Lie Яглома . Его объем намного шире, чем его название, он исследует взаимодействие алгебраических и геометрических идей также в работах Галуа, Понселе, Гамильтона, Грассмана, Кэли, Пирса, Клиффорда и т. д., и дает биографические подробности и обширные ссылки на оригинальные и вторичные источники.

Между алгебрами и векторными пространствами находилась (и до сих пор находится, как преподают в некоторых курсах физики или в курсах, известных как векторное исчисление во многих американских университетах) алгебра векторов, разработанная Оливером Хевисайдом для нужд физики. Он появился в его статье «О силах, напряжениях и потоках энергии в электромагнитном поле», Philosophical Transactions of the Royal Society (1892), стр. 521–574, и строго рассматривает уже знакомые операции над векторами, такими как скаляр или векторное произведение, а также дивергенция и завиток.

Комментарий Идо Явеца в главе 49 (к статьям Хевисайда по электротехнике) в «Веховых работах по западной математике 1640–1940» под редакцией Айвора Граттан-Гиннесса, Elsevier, 2005 г., разъясняет алгебраическое происхождение работы Хевисайда:

«Замечательная особенность векторной алгебры в том виде, в каком мы ее знаем в настоящее время, заключается в том, что она возникла не в результате прямой попытки формализовать такие широко известные приложения. Вместо этого она впервые появилась в контексте весьма новаторского и своеобразного изобретения Гамильтоном кватернионов. (...) Однако в своем кватернионном контексте векторы обладали формальными свойствами, которые оказались неудобными для применения к физическим проблемам. Затем Гиббсу и Хевисайду было предоставлено право извлечь вектор из его кватернионных основ и установить его на его собственных формальных основаниях. "

Добавлено 11 ноября 2016 г.: Хорошая ссылка: Майкл Дж. Кроу, История векторного анализа: эволюция идеи векторной системы. Первоначально опубликовано издательством Notre Dame University Press, 1962; Довер перепечатывает 1985 и 1994 годы.