Может ли «поле» изначально иметь некоммутативное умножение?

Не совсем. В ранних формулировках Дедекинда была некоторая расплывчатость, но тенденция состояла в том, чтобы использовать « Körper » или «поле», когда умножение с самого начала было коммутативным. Любопытно, что в русском языке общая алгебра с делением называется тело , буквально «тело», что, по-видимому, является переводом немецкого Körper , в отличие от коммутативного поле , переводом английского «поле».

Первоначальное использование немецкого Zahlenkörper (буквально, числовое тело), ​​или Körper для краткости, теперь переводится как поле, приписывается Дополнению XI Дедекинда к Vorlesungenueber Zahlentheorie Дирихле , §159 (1871) , а также его Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) ( последний был переведен на английский язык в « Очерках теории чисел» (1901 г.) ). Вот соответствующий отрывок из Дополнения XI:

« Пока что мы рассмотрели только целые числа$0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4...$, а именно все те числа, которые возникают из числа$1$многократным сложением и вычитанием; эти числа воспроизводятся сложением, вычитанием и умножением, или, другими словами, суммы, разности и произведения двух целых чисел снова являются целыми числами. Напротив, четвертая основная операция, деление, приводит к более полному понятию рациональных чисел, под именем которых будут пониматься частные любых двух целых чисел [с ненулевым знаменателем]; эти рациональные числа, очевидно, воспроизводятся всеми четырьмя основными операциями.

В будущем мы хотим называть каждую систему действительных или комплексных чисел, обладающую этим фундаментальным свойством воспроизводства, Захленкорпером или Кёрпером для краткости ; система$R$всех рациональных чисел есть один такой Кёрпер, и это простейший пример одного из них. Этот Кёрпер$R$рациональных чисел теперь состоит из целых чисел и дробей, т.е. нецелых; первые мы хотим назвать рациональными целыми числами, чтобы отличить их от новых целых чисел, которые будут введены. "[мой перевод и выделение]

С одной стороны, Дедекинд явно не требует, чтобы умножение было коммутативным в этом «определении», и это соответствовало бы определению Галуа группы, от которой не требовалось, чтобы она была абелевой. С другой стороны, он, кажется, говорит о подполях «действительных или комплексных чисел», которые коммутативны, и все его примеры являются полями алгебраических чисел (гауссовские рациональные числа рассматриваются сразу после определения). В частности, он не рассматривает ни некоммутативные алгебры с делением, ни конечные поля, хотя опять же его$R$формально не требуется, чтобы быть бесконечным.

Примерно в то время были популярны системы гиперкомплексных чисел, и некоторые из них (кватернионы) имели некоммутативное умножение и обратные значения для ненулевых чисел. Трудно сказать , был ли Дедекинд склонен называть их и Кёрперами . Согласно книге Джеффа Миллера «Самые ранние известные случаи использования некоторых слов математики» , Уайлдстрем утверждал, что был. Миллер также предполагает, что этот термин не прижился до начала 1890-х годов, в частности, Мур перевел его на английский язык как «поле» в 1893 году (но в вышеупомянутом переводе Дедекинда 1901 года вместо этого используется «тело»). Вот предположение Хантингтона из статьи, представленной AMS в 1904 году:

Тесно связана с теорией групп теория полей, предложенная Галуа и в конкретной форме появившаяся в 1871 г. у Дедекинда. Слово поле является английским эквивалентом термина Дедекинда Körper; как синоним, изначально имел несколько иное значение. Самые ранние изложения теории с общей или абстрактной точки зрения были даны независимо Вебером и Муром в 1893 г. [...] Самые ранние наборы независимых постулатов для абстрактных полей были даны в 1903 году профессором Диксоном и мной; все эти наборы были естественными расширениями наборов независимых постулатов, которые уже были даны для групп » .

Опять же, если мы хотим, чтобы «поля» были обобщением групп, а не абелевыми группами, оно должно охватывать то, что сейчас называется алгебрами с делением. Однако в вышеупомянутой статье Мура 1893 г. и в обеих статьях Диксона 1903 г. «Определения поля независимыми постулатами » и «Хантингтона, определения поля наборами независимых постулатов» явно предполагается коммутативность умножения.