Калибровочная инвариантность в КЭД

В обычных теориях число свободы системы можно получить, взглянув на количество переменных по отношению к количеству уравнений, описывающих систему. В случае классической электродинамики возникает соблазн вывести уравнение движения фотона из лагранжиана${\scr{L}}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$и попытайтесь ограничить 4 компонента$A_\mu$поле до двух.

Однако$A_\mu$калибровочная инвариантность полевых опытов$A_\mu \rightarrow A_\mu - \partial_\mu \alpha$. Ценности$\alpha$можно свободно выбирать в лагранжиане, и эта калибровочная инвариантность приводит к избыточности в описании системы, истинное число степеней свободы остается скрытым. Чтобы выяснить истинные физические степени свободы, необходимо проквантовать систему и выделить калибровочную избыточность. Это делается с помощью формализма Гупта-Блейлера в КЭД. Более общая процедура называется квантованием Фадеева-Попова и применима также к неабелевым теориям.

Суть процедуры квантования состоит в том, чтобы записать фотонное поле в виде разложения Фурье с операторами уничтожения и рождения$a$и$a^\dagger$:

Прежние четыре степени свободы системы теперь находятся в 4-х линейно независимых векторах поляризации.$\epsilon(k)$. Калибровка Лоренца$\partial_\mu A^\mu =0$теперь должно быть наложено на квантовый уровень, следовательно, на гильбертово пространство, дающее$k_\mu \epsilon^\mu= 0$. Это ограничивает возможные поляризации фотона, устраняя продольную поляризацию. Следовательно, теряется одна степень свободы.

Продолжая процедуру и используя безмассовое условие$k^2=0$можно сделать еще одну возможную поляризацию, отделившуюся от физических степеней свободы и оставив систему только с двумя физическими поперечными поляризациями. Процесс квантования весьма нетривиален, как и подсчет степеней свободы.