Почему датчик собственной энергии электрона зависит?

Question

Почему датчик собственной энергии электрона зависит?

Физика
собственная энергия
калибровочная теория
калибровочная инвариантность
преобразование Фурье
квантовая электродинамика

СлучайныйПреобразование Фурье

Позволять $\psi(x)$ быть полем электрона. Его преобразованная Фурье двухточечная функция читается

⟨ ψ \bar{ψ} ⟩ "=" \frac{1}{п - м - Σ (п)} .

$\langle\psi\bar\psi\rangle=\frac{1}{\not p-m-\Sigma(\not p)}.$

Если мы посчитаем $\Sigma(\not p)$ , заметим, что он зависит от калибровочного параметра $\xi$ , что в принципе не проблема, т.к. $\Sigma(\not p)$ само по себе не наблюдается.

Но если мы подумаем о калибровочном преобразовании как о взятии $\psi\to\mathrm e^{i\alpha(x)}\psi(x)$ , то двухточечная функция должна удовлетворять

⟨ ψ \bar{ψ} ⟩ \to ⟨ ψ е^{я α (Икс)} е^{- я α (Икс)} \bar{ψ} ⟩ "=" ⟨ ψ \bar{ψ} ⟩

$\langle\psi\bar\psi\rangle\to \langle\psi\mathrm e^{i\alpha(x)}\mathrm e^{-i\alpha(x)}\bar\psi\rangle=\langle\psi\bar\psi\rangle$

Поэтому можно было бы наивно ожидать $\Sigma(\not p)$ калибровочно-инвариантным, а значит, не должен зависеть от $\xi$ . Каково решение этого противоречия? Почему наши ожидания не оправдываются?

флиппифанус

Подвох, я подозреваю, заключается в расчете

Σ

$\Sigma$ . Строго говоря, это суммирование бесконечного числа порядков, но при вычислениях обязательно приходится усекать его на каком-то конечном порядке. Это усечение вводит калибровочную зависимость. Если бы кто-то мог вычислить его для всех порядков, я думаю, он был бы независим от калибровки.

СлучайныйПреобразование Фурье

@flippiefanus, если это сработает, это, безусловно, будет приятно. Но я не уверен на 100%, что это работает: в конце концов, при вычислении

S

$S$ элементы матрицы, мы запрашиваем

ξ

$\xi$ -независимость порядок за порядком в теории возмущений, верно?

Любопытный Разум

Как происходит калибровочное преобразование

e^{i α (x)}

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x)}$ изменять

ξ

$\xi$ ? В теории с

ξ

$\xi$ , вы отказались от калибровочной инвариантности, потому что зафиксировали калибровку, поэтому я не понимаю, как требование,

⟨ ψ \bar{ψ} ⟩

$\langle\psi\bar\psi\rangle$ быть «калибровочно-инвариантным» согласуется с фиксированием калибровки путем введения

ξ

$\xi$ .

СлучайныйПреобразование Фурье

@ACuriousMind Я вижу, что вы говорите, и это довольно убедительно. Я предполагаю, что у меня возникло ощущение, что что-то, что было априорно калибровочным инвариантом, не должно модифицироваться путем фиксации калибровки, и поэтому оно не должно зависеть от

ξ

$\xi$ (или любой другой параметр/процедура фиксации манометра).

Томас

В любом случае двухточечная функция нелокальна.

ψ (0) \bar{ψ} (x)

$\psi(0)\bar\psi(x)$ , поэтому он не является калибровочно-инвариантным.

СлучайныйПреобразование Фурье

@ Томас спасибо за ваш комментарий. То, что вы говорите, звучит многообещающе, но я не уверен, что вы имеете в виду под нелокальными (нелокальными в каком смысле? Вы имеете в виду, что эти объекты являются распределениями и, следовательно, должны быть интегрированы по гладким функциям? двухточечная функция нелокальна или может быть что-то еще?)

Томас

В обычном смысле вам нужна фактическая двухточечная функция

S (0, x)

$S(0,x)$ вычислить

S (p)

$S(p)$ .

СлучайныйПреобразование Фурье

@ Томас, я чувствую себя глупо, но я не слежу за тобой. Я знаю, что вычислить

⟨ ψ \bar{ψ} ⟩ (p)

$\langle\psi\bar\psi\rangle(p)$ мне нужно

⟨ ψ \bar{ψ} ⟩ (x)

$\langle\psi\bar\psi\rangle(x)$ , но я не понимаю, насколько это вообще актуально. Если что-то калибровочно инвариантно в пространстве положений, оно также калибровочно инвариантно в импульсном пространстве. Зачем интегрировать

d x

$\mathrm dx$ ввести калибровочную зависимость в калибровочно независимый объект? Интегрирование по пространству — это, так сказать, калибровочно-инвариантная процедура...

Томас

Тебе нужно

S (x, y) = ⟨ ψ (x) \bar{ψ} (y) ⟩

$S(x,y)=\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle$ . По лоренц-инвариантности

S (x, y)

$S(x,y)$ зависит только от

x - y

$x-y$ , и

S (p)

$S(p)$ это FT в

x - y

$x-y$ .

СлучайныйПреобразование Фурье

@Томас Вау. Теперь я понимаю, что вы имеете в виду, я действительно был глуп. Вы хотите написать ответ, чтобы я мог его принять?

Ответы (3)

Почему датчик собственной энергии электрона зависит?

Подвох, я подозреваю, заключается в расчете $\Sigma$ . Строго говоря, это суммирование бесконечного числа порядков, но при вычислениях обязательно приходится усекать его на каком-то конечном порядке. Это усечение вводит калибровочную зависимость. Если бы кто-то мог вычислить его для всех порядков, я думаю, он был бы независим от калибровки.
@flippiefanus, если это сработает, это, безусловно, будет приятно. Но я не уверен на 100%, что это работает: в конце концов, при вычислении $S$ элементы матрицы, мы запрашиваем $\xi$ -независимость порядок за порядком в теории возмущений, верно?
Как происходит калибровочное преобразование $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x)}$ изменять $\xi$ ? В теории с $\xi$ , вы отказались от калибровочной инвариантности, потому что зафиксировали калибровку, поэтому я не понимаю, как требование, $\langle\psi\bar\psi\rangle$ быть «калибровочно-инвариантным» согласуется с фиксированием калибровки путем введения $\xi$ .
@ACuriousMind Я вижу, что вы говорите, и это довольно убедительно. Я предполагаю, что у меня возникло ощущение, что что-то, что было априорно калибровочным инвариантом, не должно модифицироваться путем фиксации калибровки, и поэтому оно не должно зависеть от $\xi$ (или любой другой параметр/процедура фиксации манометра).
В любом случае двухточечная функция нелокальна. $\psi(0)\bar\psi(x)$ , поэтому он не является калибровочно-инвариантным.
@ Томас спасибо за ваш комментарий. То, что вы говорите, звучит многообещающе, но я не уверен, что вы имеете в виду под нелокальными (нелокальными в каком смысле? Вы имеете в виду, что эти объекты являются распределениями и, следовательно, должны быть интегрированы по гладким функциям? двухточечная функция нелокальна или может быть что-то еще?)
В обычном смысле вам нужна фактическая двухточечная функция $S(0,x)$ вычислить $S(p)$ .
@ Томас, я чувствую себя глупо, но я не слежу за тобой. Я знаю, что вычислить $\langle\psi\bar\psi\rangle(p)$ мне нужно $\langle\psi\bar\psi\rangle(x)$ , но я не понимаю, насколько это вообще актуально. Если что-то калибровочно инвариантно в пространстве положений, оно также калибровочно инвариантно в импульсном пространстве. Зачем интегрировать $\mathrm dx$ ввести калибровочную зависимость в калибровочно независимый объект? Интегрирование по пространству — это, так сказать, калибровочно-инвариантная процедура...
Тебе нужно $S(x,y)=\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle$ . По лоренц-инвариантности $S(x,y)$ зависит только от $x-y$ , и $S(p)$ это FT в $x-y$ .
@Томас Вау. Теперь я понимаю, что вы имеете в виду, я действительно был глуп. Вы хотите написать ответ, чтобы я мог его принять?

Томас · Answer 1

Распространитель $S(p)$ является преобразованием Фурье двухточечной функции $S(x,y)=\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle$ ,

С (п) "=" \int \frac{г^{п}}{(2 π)^{4}} опыт (- я п \cdot (Икс - у)) С (Икс, у) .

$S(p) = \int \frac{d^p}{(2\pi)^4} \, \exp(-ip\cdot(x-y)) \, S(x,y)\, .$ Заметим, что из-за лоренц-инвариантности

S (x, y)

$S(x,y)$ не зависит от

x + y

$x+y$ . Ясно, что двухточечная функция нелокальна и не является калибровочно-инвариантной.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 2

В качестве альтернативы ответу Томаса отметим, что если мы запишем закон преобразования явно, мы получим

⟨ ψ (Икс) \bar{ψ} (у) ⟩ \to ⟨ ψ (Икс) е^{я α (Икс)} е^{- я α (у)} \bar{ψ} (у) ⟩ "=" е^{я (α (Икс) - α (у))} ⟨ ψ (Икс) \bar{ψ} (у) ⟩

$\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle\to \langle\psi(x)\mathrm e^{i\alpha({\color{red}x})}\mathrm e^{-i\alpha({\color{red}y})}\bar\psi(y)\rangle=\mathrm e^{i(\alpha(x)-\alpha(y))}\langle\psi(x)\bar\psi(y)\rangle$

Мы видим, что двухточечная функция не может быть калибровочно-инвариантной, потому что поля оцениваются в разных точках и, таким образом, локальные фазы не компенсируют друг друга. Это не было очевидно в OP, потому что я явно не писал метки пространства-времени. Дурак я.

В этом смысле поле Дирака $\psi(x)$ также является калибровочно неинвариантным, поскольку изменяется. Важнее то, что замена переменной не обязана сохранять форму уравнений, если она помогает решать уравнения.
Неправильно брать экспоненту за пределы ожидаемого значения. Калибровочный параметр $\alpha$ следует рассматривать как независимую (скалярную) степень свободы после квантования и как таковую имеет нетривиальное математическое ожидание. Смотрите ответ ниже.
@lux Я не согласен. Это просто неправда, что $\alpha$ следует воспринимать как оператор. Вы можете ввести поле Штюкельберга, выполнив калибровочное преобразование, калибровочным параметром которого является оператор. Но вы, безусловно, не должны . В стандартной КЭД без полей Штюкельберга калибровочное преобразование определенно является $c$ -число и может быть вытащено из корреляционных функций.
ХОРОШО. Вы только посмотрите на лечение Ландау
@lux Извините, но не нужно: Ландау вполне может считаться $\alpha$ как оператор. Я не говорю, что вы не можете этого сделать; вы определенно можете. Я говорю, что вам не нужно , если вы не хотите. На самом деле в самой стандартной формулировке КЭД вы не учитываете $\alpha$ как оператор. Ваш подход, хотя и правильный, является скорее исключением, чем правилом. Это прекрасный подход, очень интересный, но вы должны помнить, что он неканонический, и вы не должны делать такие категоричные заявления.
Хорошо. Но ваша текущая преобразованная двухточечная функция неверна. Смотрите мой ответ ниже.
@lux Двухточечная функция не является неправильной. Ваш ответ - это просто список ссылок, практически не имеющих собственного содержания. Он содержит неправильное утверждение и немного больше. И уж точно не содержит обсуждения того, почему двухточечная функция, которую я пишу, неверна.

люкс · Answer 3

Пропагатор — или любая произвольная корреляционная функция — сильно зависит от калибровки внутренних фотонов (тождество Уорда имеет дело с вариациями калибровки внешних фотонов).

Впервые это было отмечено Ландау и Халатниковым (и примерно в то же время Фрадкиным), которые в основном анализируют квантованную версию поля калибровочных преобразований, называемую $\alpha(x)$ по ОП:

Л. Ландау, И. Халатников, сов. физ. ЖЭТП2,69 (1956 г.).
Е.С. Фрадкин, Ж.С. Эксп. Теор. 29, 258261 (1955).

Лечение $\alpha$ поскольку поле типа Штюкельберга более ясно в

MAL Capri, D. Fiorentini, MS Guimaraes, BW Mintz, LF Palhares, SP Sorella, Phys. Ред. Д 94, 065009 (2016)
T. De Meerleer, D. Dudal, SP Sorella, P. Dall'Olio, A. Bashir, Phys. Ред. Д 97, 074017 (2018)

Для обобщения произвольных функций Грина (включая простые произведения фермионного поля - см. комментарии) см.

T. De Meerleer, D. Dudal, SP Sorella, P. Dall'Olio, A. Bashir, Phys. Ред. Д 101, 085005 (2020)
Н. Ахмадиниаз, Дж. П. Эдвардс, Дж. Никасио, К. Шуберт, arXiv: 2012.10536 [hep-th]

Неправда, что произвольная корреляционная функция зависит от выбора калибровки внутренних фотонов. Корреляционные функции калибровочно-инвариантных операторов (таких как $F^{\mu\nu}$ или $\bar\psi(x)W(x,y)\psi(y)$ , с $W$ линия Вильсона) калибровочно-инвариантны и не зависят от $\xi$ .
Исходный вопрос касается корреляторов чистых произведений $\psi$ поля. Новую тему следует обсудить в отдельном вопросе.
Почему? Вы делаете неправильное утверждение, независимо от того, имеет ли оно отношение к вопросу или нет. Просто неверно, что произвольные корреляционные функции зависят от калибровки. Эта фраза неверна. Отвечает ли это на вопрос в ОП, совершенно не имеет значения. Если кто-то спросит о черных дырах, а вы скажете, что 1+2=7, вы все равно сделаете ложное утверждение, даже если оно не имеет отношения к черным дырам.

Почему датчик собственной энергии электрона зависит?

СлучайныйПреобразование Фурье

флиппифанус

СлучайныйПреобразование Фурье

Любопытный Разум

СлучайныйПреобразование Фурье

Томас

СлучайныйПреобразование Фурье

Томас

СлучайныйПреобразование Фурье

Томас

СлучайныйПреобразование Фурье

Ответы (3)

Томас

СлучайныйПреобразование Фурье

Владимир Калитвянский

люкс

СлучайныйПреобразование Фурье

люкс

СлучайныйПреобразование Фурье

люкс

СлучайныйПреобразование Фурье

люкс

СлучайныйПреобразование Фурье

люкс

СлучайныйПреобразование Фурье

Личность Уорда и поля Прока

U (1) × U (1) U (1) × U (1) U (1) {\ times} U (1) производная локальной калибровочной инвариантности

Смысл фиксации калибровки в ковариантном квантовании электромагнитного поля

Почему реальный скаляр не может соединиться с электромагнитным полем?

Разряжается ли электрический ток в КЭД в калибровочном поле?

Как сокращаются непоперечные поляризации фотонов в евклидовой КЭД?

Уравнения Швингера-Дайсона в кулоновской калибровке

Может ли преобразование электромагнитного датчика быть воображаемым?

Калибровка Фаддеева-Попова в электромагнетизме

Зависимость равновременной коммутации электромагнитного поля