Классическое и квантовое использование спинового 4-вектора

У меня есть несколько основных вопросов о 4-векторе вращения Паули-Лубански S.

  1. Я использовал его в квантово-механических расчетах как оператор, то есть каждый из компонентов S является матричным оператором, который действует на собственный вектор или собственный спинор. Но мой вопрос касается полезности S в классическом смысле, то есть он представляет собой физический спиновый угловой момент. Например, в системе покоя электрона 4-вектор спина для случая, когда спин вверх вдоль оси z определяется как S = (0, 0, 0, h/2), а для спина вниз вдоль x мы имеем S = (0, -h/2, 0, 0) и т. д.?

  2. Я знаю, что в системе покоя частицы S = (0, Sx, Sy, Sz), где пространственные компоненты являются компонентами 3-вектора спинового углового момента. Однако, когда мы повышаем S по Лоренцу, временная составляющая больше не равна нулю. В этом форсированном случае, дают ли 3 пространственные компоненты по-прежнему 3-вектор углового момента спина (аналогично случаю для 4-импульса, где 3 пространственные компоненты всегда дают 3-импульс), или пространственные компоненты теперь означают что-то другое ? Причина, по которой я не уверен, заключается в том, что некоторые 4-векторы, например 4-скорость, имеют пространственные компоненты, которые вообще не представляют 3-скорость, поскольку они могут быть сверхсветовыми и т. д.

Ответы (1)

Временная составляющая вектора Паули-Любански равна произведению спиральности на (три) величины импульса:

ж 0 "=" λ | | п | | "=" Дж . п

Где λ спиральность, Дж - (полный) угловой момент и п это три импульса. См. следующую статью Кариненьи, Гарсии-Бондиа, Лиззи, Мармо и Витале (вторая формула раздела 2). См. также следующую формулу, где записано преобразование пространственной и временной составляющих вектора Паули-Любанского при общем бусте:

ж 0 → с о с час ( ξ ) ж 0 + с я н час ( ξ ) н . ж .

ж → ж − с я н час ( ξ ) ж 0 н + ( с о с час ( ξ ) − 1 ) ( н . ж ) ж .

Где ж — пространственные компоненты вектора Паули-Лубански. ξ это быстрота, н это направление повышения

Теперь легко вывести свойства временной составляющей уравнения Паули-Лубански путем проверки:

1) Для бесспиновой частицы эта компонента тождественно равна нулю во всех системах отсчета:

2) Для безмассовой частицы и преобразования Лоренца, сохраняющего импульс. Угловой момент вращается вокруг вектора количества движения (вращение Вигнера), так что спиральность сохраняется. Это связано с тем, что для светоподобного 4-импульса вектор Паули-Любанского должен быть пропорционален вектору импульса, поэтому его временная составляющая не изменяется при преобразовании Лоренца, сохраняющем импульс.

Обновлять

Причина в следующем: для безмассовой частицы 4-вектор Паули-Лубанского светоподобн. Учитывая, что он всегда ортогонален 4-вектору импульса (который в данном случае тоже светоподобн), два вектора должны быть пропорциональны (два ортогональных светоподобных вектора должны быть пропорциональны). Коэффициент пропорциональности — это просто отношение между спиральностью (временная составляющая вектора Паули-Лубански) и энергией (временная составляющая 4-импульса). Это предполагает, что, когда кинетическая энергия частицы намного больше, чем ее масса покоя, векторы Паули-Лубански и импульса стремятся выровняться. Чтобы увидеть это более явно, можно использовать выражение пространственных компонент Паули-Лубански через векторы спина и импульса для массивной частицы:

ж "=" м с + п . с п 0 + м п .

Из этой формулы видно, что когда скорость частицы становится большой, второй член доминирует, и 3-вектор пространственных компонент Паули-Лубански становится почти совмещенным с 3-вектором пространственных компонент импульса.

Спасибо за ответ! Я до сих пор не уверен в своем первоначальном вопросе: в системе покоя электрона является ли 4-вектор спина для случая вращения вдоль оси z заданным как W = mc (0, 0, 0, h/2) а для вращения вниз по x имеем W = mc(0, -h/2, 0, 0) и т. д.?
В основном да, но обратите внимание, что компоненты пространственного спина в системе покоя удовлетворяют коммутационным соотношениям углового момента, а компоненты x и z не могут быть измерены одновременно. Таким образом, числовые значения вектора Паули-Любански следует понимать как ожидания.
Еще раз спасибо, Дэвид. Причина моих вопросов в том, что я пытаюсь визуализировать «направление» вращения электрона до и после ускорения. Под «направлением» я подразумеваю направление, в котором измерение вращения (например, с помощью прибора Штерна-Герлаха) вернет «вращение вверх» в 100% случаев. В системе покоя это «направление» легко найти по двум компонентам спинора. Но я пытаюсь определить новое направление в усиленном кадре. Итак, могу ли я просто увеличить 4-вектор W, а затем использовать 3 пространственных компонента для описания нового (усиленного) направления в 3-пространстве?
Буст-преобразование пространственных компонентов вектора Паули Любански — это третье уравнение, скопированное из справочной статьи. Для массивной частицы спин — это значение вектора пространственной компоненты в ее системе покоя. Зная импульс и вектор Паули-Любанского, можно выполнить бустинг в системе отсчета, в которой частица покоится, и получить ее спин. В системе отсчета, где частица не находится в состоянии покоя, пространственные компоненты вектора Паули-Любански по-прежнему удовлетворяют соотношениям спиновой коммутации, поскольку они состоят из спина и углового момента, поэтому должны быть квантованы.
Итак, вы говорите, что вращение действительно имеет смысл только в системе покоя, где это пространственные компоненты вектора PL. Но я слышу такие вещи, как «Для быстро движущихся электронов спин выровнен по направлению движения». Как я могу показать это? Я надеялся сделать БОЛЬШОЕ усиление вектора PL из кадра покоя, а затем использовать 3 пространственных компонента в усиленном кадре, чтобы показать, что компонент вдоль направления движения доминирует над другими, таким образом, это показывает, что вращение имеет выровняться по направлению движения. Это верно?
Извините за поздний ответ, я добавил обновление, объясняющее ультрарелятивистский случай.
Большое спасибо, Дэвид! Я внимательно просмотрю ваш ответ, он очень помогает. Счастливых вам праздников.
Классическое и квантовое использование спинового 4-вектора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v