Особенность системы из трех электронов

Question

Особенность системы из трех электронов

Физика
фермионы
тензорное исчисление
квантовая механика
идентичные частицы
Паули-исключение-принцип

нугако

Рассмотрим три (или любое число больше двух) электронов без пространственных степеней свободы, поэтому единственная степень свободы — это спины. Затем гильбертово пространство формируется тензорным произведением пространства каждого электрона. Теперь, согласно моей литературе о так называемом антисимметричном тензоре, антисимметричный тензор не может быть сформирован, если количество векторов, подлежащих тензорному умножению, больше, чем размерность каждого векторного пространства. Если применить к моему примеру в начале, то кажется, что я не могу образовать антисимметричное состояние в системе из трех электронов, потому что количество кет, которые нужно тензорно умножить, равно трем (есть три электрона), а размерность каждого равна 2 ( из-за спина 1/2). Если это так, то невозможна ли трехэлектронная система без пространственных степеней свободы? Но это странно.

Ответы (1)

Особенность системы из трех электронов

fqq · Answer 1

fqq

Да, невозможно построить полностью антисимметричное спиновое состояние с более чем двумя электронами. Это всего лишь формулировка принципа исключения Паули.

Гарип

Означает ли это, что учет пространственной части волновой функции необходим для создания трехэлектронного состояния?

нугако

Подожди, подожди, подожди... После нескольких раздумий, если я буду продолжать

| \pm ⟩ | \pm ⟩ | \pm ⟩

$|\pm\rangle |\pm\rangle |\pm\rangle$ основе, действительно кажется невозможным построить антисимметричное государство. Но если я введу другое состояние, скажем

| π ⟩

$|\pi\rangle$ которая представляет собой некоторую линейную комбинацию

| + ⟩

$|+\rangle$ и

| - ⟩

$|-\rangle$ , я действительно могу сформировать антисимметричное состояние, которое

| А ⟩ "=" | + ⟩ | - ⟩ | π ⟩ + | π ⟩ | - ⟩ | + ⟩ + | - ⟩ | π ⟩ | + ⟩ - | π ⟩ | - ⟩ | + ⟩ - | - ⟩ | + ⟩ | π ⟩ - | + ⟩ | π ⟩ | - ⟩

Руслан

@nougako действительно не нарушает принцип Паули: все три электрона находятся в разных одночастичных состояниях, поэтому общее состояние может быть антисимметричным.

Люк Притчетт

@nougako Нет, ты не можешь. Расширять

| π ⟩

$|\pi\rangle$ как произвольная линейная комбинация

| 1 ⟩

$|1\rangle$ и

| 2 ⟩

$|2\rangle$ и ты увидишь, что

| A ⟩ = 0

$|A\rangle = 0$ . Если у вас есть векторное пространство

V

$V$ , антисимметричные состояния произведения являются подпространством

V \otimes V

$V\otimes V$ . Для двумерного пространства

Asymm (V \otimes V)

$\text{Asymm}(V\otimes V)$ является одномерным, поэтому

Asymm (V \otimes V \otimes V)

$\text{Asymm}(V\otimes V\otimes V)$ является нульмерным.

нугако

Здесь, кажется, сформировались плюсы и минусы. @LukePritchett, я не понимаю условного утверждения вашего последнего предложения «Для двумерного пространства

Asymm (V \otimes V)

$\textrm{Asymm}(V\otimes V)$ является одномерным, поэтому

Asymm (V \otimes V \otimes V)

$\textrm{Asymm}(V\otimes V\otimes V)$ является нульмерным. Вы заставили это звучать как размерность

Asymm (V \otimes V)

$\textrm{Asymm}(V\otimes V)$ влияет на размерность

Asymm (V \otimes V \otimes V)

$\textrm{Asymm}(V\otimes V\otimes V)$ . Можете объяснить, как они связаны?

Люк Притчетт

@nougako Я был небрежен и не уверен, что смысл правильный. Однако,

Asymm (V \otimes V \otimes V)

$\text{Asymm}(V\otimes V\otimes V)$ нульмерна, если

V

$V$ является 2-мерным. Чтобы убедиться в этом, попробуйте построить основу. Или попробуйте unapologetic.wordpress.com/2008/12/23/антисимметричные-тензоры

fqq

я не знаю

A s y m m (V \otimes V)

$\mathrm{Asymm}(V\otimes V)$ является стандартным обозначением. По крайней мере, в математике объект, о котором вы говорите (внешняя алгебра), обозначался бы

Λ^{3} (C^{2})

$\Lambda^3(\mathbb{C}^2)$ и довольно легко увидеть, что это тривиальное векторное пространство (нулевая размерность) en.wikipedia.org/wiki/Exterior_алгебра#Basis_and_dimension

fqq

@Ruslan Есть два одночастичных состояния, электроны не могут находиться в трех разных (линейно независимых) состояниях. На самом деле, как отметил Люк Притчетт,

| A ⟩ = 0

$|A\rangle=0$ .

нугако

Я считаю, что fqq и Люк были правы, а именно не может быть антисимметричного состояния, образованного тремя электронами без пространственной волновой функции. Тогда это подразумевает, ИМО, что любой атом с

Z > 2

$Z>2$ так что ядерная сила притяжения недостаточно сильна, чтобы влиять на спин-орбитальную связь, всегда должна иметь антисимметричную пространственную волновую функцию для всех собственных состояний гамильтониана, потому что спиновая волновая функция всегда будет симметричной. Я прав

fqq

Я не понимаю, почему состояние должно быть разложимо в пространственной волновой функции.

\otimes

$\otimes$ спиновое состояние (или почему спиновая часть должна быть симметричной).

Особенность системы из трех электронов

нугако

Ответы (1)

fqq

Гарип

нугако

Руслан

Люк Притчетт

нугако

Люк Притчетт

fqq

fqq

нугако

fqq

Принцип запрета Паули и идентичные фермионы

Типичное применение принципа запрета Паули в атомах

Никакие два идентичных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии?

Антисимметричное свойство фермионной волновой функции

Зачем нужен принцип исключения Паули?

Запрещает ли исключение Паули двум нейтральным фермионам занимать одно и то же место в пространстве?

Каков диапазон действия принципа исключения Паули?

Есть ли причина для принципа исключения Паули?

Насколько аксиоматично требование симметризации (т.е. принцип Паули)? (в КМ)

Нарушают ли квантовые измерения требование симметризации?