Когда мы говорим, что спин электрона равен 1/2, что именно это означает, 1/2 чего?

Question

Когда мы говорим, что спин электрона равен 1/2, что именно это означает, 1/2 чего?

матори82

Когда мы говорим, что электрон имеет спин $\frac{1}{2}$ , это значение полного спина электрона, или проекция на ось z, или квантовое число спина?

Когда мы говорим, что «электрон имеет спин $\frac{1}{2}\hbar$ ", это значение полного вращения или проекции? Кроме того, иногда люди говорят просто "вращение 1/2" без $\hbar$ .

Спиновое квантовое число $s$ аналогично l (полный орбитальный угловой момент) или $m_s$ (проекция л).

Я сбит с толку, потому что, когда я пытаюсь изучить сложение углового момента (например, в соединении jj), где мы используем формулу:

\vec{Дж} "=" \vec{л} + \vec{с}

$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ чтобы получить полный угловой момент для частицы, а затем мы суммируем все в:

\vec{Дж} "=" \sum \vec{Дж}

$\vec{J}=\sum \vec{j}$

Что $s$ в данном контексте? Я имею в виду в уравнении: $\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ так как мы суммируем его с $\vec{l}$ тогда это должна быть проекция вращения на ось z, верно?

Ответы (4)

Когда мы говорим, что спин электрона равен 1/2, что именно это означает, 1/2 чего?

грабить · Answer 1

Когда мы говорим, что электрон имеет «половину спина», мы имеем в виду половину кванта углового момента, $\hbar$ . Хороший текст по квантовой механике или другой справочник помогут вам вывести, что оператор Лапласа преобразуется в сферические координаты, например

\begin{aligned} \nabla^{2} & "=" {(\frac{\partial}{\partial Икс})}^{2} + {(\frac{\partial}{\partial у})}^{2} + {(\frac{\partial}{\partial г})}^{2} \\ "=" \frac{1}{р^{2}} \frac{\partial}{\partial р} (р^{2} \frac{\partial}{\partial р}) + \frac{1}{р^{2} {грех}^{2} θ} {(\frac{\partial}{\partial θ})}^{2} + \frac{1}{р^{2} грех ф} \frac{\partial}{\partial ф} (грех ф \frac{\partial}{\partial θ}) \end{aligned}

$\begin{align} \nabla^2 &= \left(\frac\partial{\partial x}\right)^2 + \left(\frac\partial{\partial y}\right)^2 + \left(\frac\partial{\partial z}\right)^2 \\ &= \frac 1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac\partial{\partial r}\right) + \frac 1{r^2 \sin^2\theta}\left(\frac\partial{\partial\theta}\right)^2 + \frac 1{r^2 \sin\phi}\frac\partial{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac\partial{\partial\theta}\right) \end{align}$ Угловые части этого оператора действуют на сферические гармоники , чтобы дать собственное значение

ℓ (ℓ + 1)

$\ell(\ell+1)$ для целого числа

ℓ

$\ell$ . Это означает, что эффективная форма оператора кинетической энергии имеет вид

\begin{aligned} \frac{ℏ^{2}}{2 м} \nabla^{2} & "=" \frac{ℏ^{2}}{2 м р^{2}} \frac{\partial}{\partial р} (р^{2} \frac{\partial}{\partial р}) + \frac{ℏ^{2}}{2 м р^{2}} ℓ (ℓ + 1) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 &= \frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac\partial{\partial r}\right) + \boxed{\frac{\hbar^2}{2mr^2}{\ell(\ell+1)}} \end{align}$ В пределе больших

ℓ

$\ell$ , член в рамке такой же, как орбитальная кинетическая энергия для точечной массы

m

$m$ вращая некоторые

r

$r$ от центра движения с угловым моментом

L \sim ℓ ℏ

$L\sim\ell\hbar$ .

Именно этот аргумент позволяет нам говорить такие вещи, как « $\hbar$ есть квант углового момента», или «угловой момент приходит кусками, и размер каждого куска равен $\hbar$ ." С $\hbar$ является единственным квантом углового момента, иногда мы считаем только кванты и опускаем единицу измерения. Так же, как когда кто-то называет вам цену и называет стоимость, но не валюту («Я заберу твою машину с этого эвакуатора за пятьдесят пять»).

Угловой момент вращения естественным образом выпадает из вопроса Дирака удивительно элегантным образом. Вы получаете тот же квант, $\hbar$ . Однако уравнение Дирака описывает объекты, собственный угловой момент которых равен $\hbar/2$ . Поэтому проекция $m_s$ спина электрона вдоль любой оси может быть $\pm\frac12\hbar$ , но никогда не ноль.

Я думаю, это может прояснить ваш поиск руководства по правилам суммирования векторных угловых моментов.

Спасибо за исчерпывающий ответ. Подводя итог, «1/2 спина» для электрона означает, что электрон имеет $\pm\frac{1}{2}\hbar$ проекция спина вдоль оси z, в то время как «полный спин» для электрона тогда $\frac{\sqrt{3}}{4}\hbar$ . Это верно?
Правильно сказать, что собственное значение оператора полного спина $\hat s^2$ является $\frac 34\hbar^2$ . Есть люди, которые это замечают $\frac{\sqrt 3}2 > \frac12$ и использовать это соотношение, чтобы «объяснить», почему спин электрона не может быть полностью направлен вдоль какой-либо одной оси, но, как и во многих других привлекательных аргументах, здесь есть некоторые тонкости, которых следует остерегаться. Лучший способ сказать это так, как говорит большинство людей: электрон имеет полный спин $\hbar/2$ , и всегда имеет проекцию $\pm\hbar/2$ на любую ось, а угловой момент в квантовой механике неуловим.
Например: дважды $\sqrt3/2$ больше, чем 3/2, но нет никакого способа объединить два электрона, чтобы получить спин больше, чем $\hbar$ .
Дорогой @rob, два электрона допускают состояния с общим $S=1$ (тройка), чьи $S^2=j(j+1)=2\hbar^2$ , так $|\vec S|$ равно $\sqrt{2}\hbar$ , что противоречит вашему утверждению. В противном случае ваши кавычки вокруг «объяснить» тоже неуместны - утверждение может быть строго доказано. Большее собственное значение $S^2$ чем $S_z^2$ подразумевает, что состояние не может быть собственным состоянием $S_x,S_z$ с исчезающим собственным значением - и потому что математическое ожидание по крайней мере либо $S_x^2$ или $S_y^2$ неотрицательна, другая также неотрицательна в силу принципа неопределенности от $[S_x,S_z]=-i\hbar S_y$ и т. д.
А $S_z$ собственное состояние просто является собственным состоянием $S_x^2+S_y^2$ с ненулевым собственным значением, которое подразумевает, что «ось угла вращения» - которая зависит от отношений $S_x/S_z$ и т.д. - просто не может быть $\theta=0$ . Для спина 1/2 все значения двухкомпонентной (спинорной) волновой функции эквивалентны, поэтому доказательство для $S_z=\hbar/2$ достаточно. Учитывая обычную формулу для $\theta$ , можно действительно вычислить это ненулевое значение $\theta$ . У нас есть $\tan^2\theta=2$ так это всегда $\theta=arctan(2)$ вдали от любой оси. Не существует единой классической оси с таким углом от «любой оси»; это не противоречие
@LubošMotl Ваши утверждения верны и правильны, и это именно то объяснение, которое я имел в виду. Я имел в виду, что нет возможности совместить два спина $hbar/2$ чтобы получить спин больше, чем $3\hbar/2$ , который должен был быть бесспорным (и правильным, поскольку $\sqrt2<3/2$ ). Тонкость слишком сложна для меня, чтобы поместить в это поле комментария.

смягченный · Answer 2

Дан оператор углового момента с компонентами $S_1, S_2, S_3$ и коммутационные соотношения $[S_i, S_j] = \sum_k \epsilon_{ijk}S_k$ , где $\epsilon_{ijk}$ являются структурными константами $\mathfrak{su}(2)$ алгебра, оператор Казимира $S^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2$ можно диагонализовать одновременно с любым из исходных компонентов $S_j$ на их собственные состояния $|\psi\rangle$ . Кроме того, справедливо следующее:

С^{2} | ψ ⟩ "=" ℏ^{2} с (с + 1) | ψ ⟩ С_{Дж} | ψ ⟩ "=" ℏ м_{Дж} | ψ ⟩ .

$S^2|\psi\rangle = \hbar^2 s(s+1)|\psi\rangle \qquad S_j|\psi\rangle = \hbar m_j|\psi\rangle.$ Значение

s

$s$ говорят, что это спина государства,

m_{j}

$m_j$ является его проекцией на

j

$j$ -направление. Согласно структурным константам и алгебрам Ли операторы углового момента близки, разные значения

s

$s$ разрешается. В случае электронов имеем

s = 1 / 2

$s=1/2$ .

Билл Н · Answer 3

Чтобы объяснить просто, не вдаваясь в детали групп симметрии вращения и т. Д.: Когда кто-то говорит $s=1/2$ , или $m_s=1/2$ или $m_s=-1/2$ , мы указываем квантовое число , которое описывает, как ведут себя собственные значения спиновых операторов.

Если мы зададим собственный набор операторов спинового углового момента $|s,m_s\rangle = |1/2, \pm 1/2\rangle$ , с операторами $\hat{s^2}$ и $\hat{s_z}$ затем

\hat{с^{2}} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ "=" \frac{3}{4} ℏ^{2} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ \hat{с_{г}} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ "=" \pm \frac{1}{2} ℏ | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩

$\hat{s^2} |1/2, \pm 1/2\rangle = \frac{3}{4} \hbar^2~ |1/2, \pm 1/2\rangle \\ \hat{s_z} |1/2, \pm 1/2\rangle = \pm\frac{1}{2} \hbar~ |1/2, \pm 1/2\rangle$

Когда кто-то комбинирует квантованные угловые моменты, существуют правила из групп симметрии, которые помогают нам определить разрешенные квантовые числа. Разрешенные квантовые числа следуют правилу треугольника. Предположим, мы хотим найти разрешенные квантовые числа для состояния, возникающего в результате комбинации двух угловых моментов. $|\ell_1, m_{\ell 1}\rangle$ и $|\ell_2, m_{\ell 2}\rangle$ :

ℓ_{1} + ℓ_{2} \geq ℓ_{н е ж} \geq | ℓ_{1} - ℓ_{2} |

$\ell_1 +\ell_2 \ge \ell_{new} \ge |\ell_1 - \ell_2|$ с целыми шагами между минимумом и максимумом, а квантовое число z-компонента просто сумма:

м_{ℓ н е ж} "=" м_{ℓ 1} + м_{ℓ 2}

$m_{\ell \mathrm{new}}=m_{\ell 1}+m_{\ell 2}$ .

Где $\ell$ представляет любой тип квантового числа углового момента (спиновое, орбитальное, спин-орбитальное комбинированное и т. д.).

Дэвид Джонсон · Answer 4

Объяснение очень простое. Основываясь на эксперименте Штерна-Герлаха, спин 1/2 просто означает, что если вы пропустите электроны через его аппарат... 1/2 электронов будет вращаться вверх, а другая 1/2 будет вращаться вниз.

Добро пожаловать на стековый обмен. Ваш ответ, конечно, правильный. Однако, принимая во внимание, что вопрос довольно старый, я бы хотел, чтобы вы публиковали только ответы, которые вносят существенную идею. Однако я не понимаю, почему другие минусуют ответ, не оставляя комментариев.
На самом деле это неоднозначно. Если бы у частицы был спин 1, то 1/1 частиц поднялась бы вверх, а 1/1 пошла бы вниз? Конечно, нет!

Когда мы говорим, что спин электрона равен 1/2, что именно это означает, 1/2 чего?

матори82

Ответы (4)

грабить

матори82

грабить

грабить

Любош Мотл

Любош Мотл

грабить

смягченный

Билл Н

Дэвид Джонсон

Семой

ZeroTheHero

Почему двухэлектронные системы обычно описывают в синглет-триплетном базисе?

Каково преобладающее мнение в научном сообществе об описании спина Гансом Ч. Оганяном?

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Почему электрон вращается с определенным наклоном?

Как интерпретировать наблюдаемые за спином, построенные нестандартным фазовым выбором?

Чем отличается LS- и JJ-связь, если обе включают только сложение векторов?

Спин, орбитальный угловой момент и полный угловой момент

Проблема с подсчетом спиновых состояний