Почему [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i подразумевает eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?

Читая книги и статьи по квантовой механике, я часто сталкиваюсь с утверждением о двух «сопряженных» переменных. Например

Пусть н ^ и ф ^ две переменные, удовлетворяющие [ н ^ , ф ^ ] "=" я . Тогда мы знаем, что е я ф ^ | н ⟩ "=" | н + 1 ⟩ держит.

Я довольно часто встречал это утверждение, но ни разу не нашел доказательства или объяснения этому факту. Вероятно, это что-то очень фундаментальное, что все (кроме меня) знают наизусть или, по крайней мере, выучили на курсе квантовой механики. К сожалению, ко мне не относится ни то, ни другое, поэтому я снова в замешательстве, откуда это взялось. Я также пытался найти его в Google, но, поскольку я не знаю имени этого отношения, у меня нет яркого имени для поиска.

Я попытался вывести его из коммутационного соотношения, применяя лемму Адамара и/или формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, но после некоторых утомительных вычислений не получил ничего полезного.

Какое-то время я просто пытался принять этот факт как нечто данное, но в долгосрочной перспективе это очень неудовлетворительно. Поэтому я надеюсь, что некоторые из вас смогут объяснить мне, что стоит за этой связью.

Означает ли переменная оператор в вашем случае?
Да, это причина ' ' at 'variable'. Я часто читал в связи с этим утверждением, что они называются сопряженными переменными, поэтому хотел использовать этот термин, чтобы сделать ссылку для тех, кто знаком с этой темой. Кроме того, если бы они были скалярами, коммутатор был бы равен 0.

Ответы (2)

Давайте вычислим

н ^ е я ф ^ | н ⟩ "=" н ^ ∑ к "=" 0 ∞ ( я ф ^ ) к к ! | н ⟩ "=" ∑ к "=" 0 ∞ я к ( [ н ^ , ф ^ к ] + ф ^ к н ^ ) к ! | н ⟩ "=" ∑ к "=" 0 ∞ я к ( к ф ^ к − 1 [ н ^ , ф ^ ] + ф ^ к н ^ ) к ! | н ⟩ "=" "=" ∑ к "=" 0 ∞ я к ( к ф ^ к − 1 я + ф ^ к н ^ ) к ! | н ⟩ "=" ( я 2 ∑ к "=" 1 ∞ я к − 1 к ф ^ к − 1 к ! + ∑ к "=" 0 ∞ я к ф ^ к к ! н ^ ) | н ⟩ "=" ( − е я ф ^ + е я ф ^ н ^ ) | н ⟩ "=" ( н − 1 ) е я ф ^ | н ⟩

где мы использовали это [ а , б н ] "=" н б н − 1 [ а , б ] . Это показывает, что е я ф ^ | н ⟩ является собственным вектором н ^ с собственным значением н − 1 , т.е. | н − 1 ⟩ . Это ваш результат с точностью до знака, потому что я думаю, что у вас есть опечатка в вашей личности.

Большое спасибо!

Я сделал следующее доказательство (оно может быть полезным, но оно довольно большое):

н ^ | н ⟩ "=" н | н ⟩
[ н ^ , ф ^ ] "=" я       ( г я в е н )
[ н ^ , е я ф ^ ] "=" − е я ф ^

Из тождества (см. доказательство здесь ):

[ н ^ , е я ф ^ ] | н ⟩ "=" ( н ^ е я ф ^ − е я ф ^ н ^ ) | н ⟩ "=" н ^ е я ф ^ | н ⟩ − н е я ф ^ | н ⟩
⇒ − е я ф ^ | н ⟩ "=" н ^ е я ф ^ | н ⟩ − н е я ф ^ | н ⟩
Условия перестановки:
н ^ ( е я ф ^ | н ⟩ ) "=" ( н − 1 ) ( е я ф ^ | н ⟩ )
по сравнению с
н ^ | н − 1 ⟩ "=" ( н − 1 ) | н − 1 ⟩
е я ф ^ | н ⟩ "=" ( н − 1 ) | н − 1 ⟩

Может быть скалярный коэффициент, который я пропустил, но его можно найти стандартным методом, используемым в операторе лестничной логики .

Спасибо и вам за ответ! К сожалению, я могу отметить только один ответ как решение. Тем не менее, большое спасибо за ваше решение!
Это вообще не проблема :) Я пишу половину ответа, когда публикуется вышеприведенный, поэтому я подумал, что должен закончить его.
Почему [n^,ϕ^]=i[n^,ϕ^]=i[\hat{n},\hat{\phi}] = i подразумевает eiϕ^|n⟩=|n+1⟩eiϕ^ |n⟩=|n+1⟩e^{i \hat{\phi}} |n\rangle = |n+1\rangle?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v