Собственные состояния лестничных операторов

Является$f$также собственная функция$L_-$?

В общем, нет. Ввести обозначения

В целом$^1$,

В конкретном случае$|\ell;\ell\rangle$(т.е. когда$m=\ell$), у нас есть

В общем, каковы собственные функции$L_\pm$?

Начать с,$L_\pm$не являются эрмитовыми, поэтому нет гарантии, что они диагонализируемы, а если они таковы, то собственные значения не будут действительными (т. е.$L_\pm$не является наблюдаемой). В абзаце выше мы утверждали, что$|\ell;\ell\rangle$является собственным вектором$L_+$, так что существует по крайней мере один собственный вектор. Теперь мы докажем, что$|\ell;\ell\rangle$является единственным собственным вектором$L_+$.

Предположим, что существует набор векторов$|\alpha;\ell\rangle$такой, что

Как набор$\{|\ell;m\rangle\}$является основой, мы можем написать$|\alpha;\ell\rangle$как линейную комбинацию этих векторов:

Это достаточно легко проверить$(5)$может быть выполнено, только если все коэффициенты$c^m_\ell=0$за исключением$c^\ell_\ell$, так что

В случае простого гармонического осциллятора , где алгебра аналогична, ситуация иная: там мы имеем выражение, подобное$(7)$, но где сумма закончилась$n=0,1,\cdots,\infty$. В этом случае вывод другой, потому что в сумме имеется бесконечное количество слагаемых. Теперь легко доказать, что существует множество ненулевых коэффициентов$c_n$, что означает, что существуют ненулевые собственные векторы повышающих/понижающих операторов. Это называется когерентными состояниями , и это довольно весело.

$^1$Доказательство этого выражения довольно стандартно, и его можно найти в Интернете или в любой книге по QM. Я собираюсь воспроизвести доказательство здесь, чтобы сделать пост более самодостаточным.

Алгебра операторов углового момента есть

Если мы определим$L_\pm=L_x\pm i L_y$, то это легко проверить$(9)$эквивалентно

Например,$[L_z,L_+]=[L_z,L_x+iL_y]=[L_z,L_x]+i[L_z,Ly]$который в силу$(9)$равно$=iL_y+L_x=L_+$.

При этом мы можем доказать$(3)$. Позволять

Далее напишите$L_zL_+=L_+L_z+[L_z,L_+]$(это должно быть довольно очевидно: просто разверните коммутатор и убедитесь, что он работает). Как мы знаем, что$[L_z,L_+]=L_+$, мы получаем

Наконец, обратите внимание, что$L_+|\ell;m\rangle$является, по определению,$|\varphi\rangle$, Который означает, что

Это отношение очень важно! Попробуйте подумать об этом на минуту. Посмотрите внимательно. Это отношение означает, что$|\varphi\rangle$является собственным вектором$L_z$, а его собственное значение равно$m+1$. Поэтому мы должны иметь$|\varphi\rangle\propto |\ell;m+1\rangle$, для$|\ell;m+1\rangle$определяется как собственный вектор$L_z$с собственным объемом$m+1$.

Следовательно, мы можем написать

Это не так сложно выяснить, постройте матрицы L+/-, соответствующие определенному значению l, и тогда вы сможете легко найти их собственные векторы, используя только матричную алгебру.

На самом деле, когда вы определяете лестничные операторы$L_+$и$L_-$нравиться

Следовательно, коммутатор$L^2$с$L_-$и$L_+$исчезает;

и аналогично для$L_-$

$L_+$поднимает$m$значение$Y$на одну единицу$\hbar$и$L_-$снижает$m$значение$Y$на одну единицу.

Индекс$m$может принимать значения из$-l$к$+l$с интервалом 1, поэтому

для$l = 0,1,2,3,\dots$;$m$может принимать значения$-l,-l+1,\dots,0,1,2,\dots,l-1,+l$

Думаю, сказанное выше может прояснить картину собственных функций.

Ссылка http://квантовая механика.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node209.html