Квантование углового момента Бора

уравнение просто дано с некоторым словесным обоснованием, а не со строгим математическим обоснованием.

Подумайте: возможно ли строгое доказательство законов механики Ньютона?

Почему нет?

Потому что это дополнительные «аксиомы», специально разработанные для того, чтобы из математических решений дифференциальных уравнений выбрать те, которые соответствуют данным.

Физика занимается математическим моделированием наблюдений и данных. Если не используются дополнительные аксиомы, называемые «законами», «принципами», «постулатами» ...., нет возможности связать абстрактные математические уравнения с измеряемыми числами.

Это ассоциативный процесс, как развиваются модели в физике. Бору пришлось подгонять спектры атомов, которые были совершенно непонятны, и он знал о фотоэлектрическом эффекте , подразумевающем удельную энергию для получения электронов с поверхности, и о формуле излучения черного тела , которая соответствовала бы данным, только если постулировать квантование. энергии фотона (именно здесь$h$происходит от).

Это была блестящая догадка , чтобы установить$L=\frac{nh}{2\pi}$, фиксированная орбита, как "аксиома", а когда спектральный ряд вышел как решение, это было подтверждением догадки.

Теперь модель была заменена теорией квантовой механики, и в этой теории, где «аксиомы» являются постулатами квантовой механики , это$L=\frac{nh}{2\pi}$выходит из математики формальной квантовой механики и может рассматриваться как «доказательство» существования. Это не умаляет гениальности гипотезы, сформулированной в модели Бора, которая до сих пор используется в качестве приближения к квантово-механическим расчетам.

Я согласен с @anna_v, что это была блестящая догадка. То, что было известно в то время, в двух словах, было понятием кванта энергии (Планк) и «кванта излучения» (Эйнштейн), которые уходят своими корнями в термодинамику. Кроме того, атомы излучают и поглощают только на определенных дискретных частотах (Лайман, Бальмер и другие «спектроскописты»…)

Блестящий шаг Бора (высоко оцененный Эйнштейном в его автобиографических заметках) заключался в созерцании того, что на определенных орбитах электронам запрещено излучать, даже если они подвергаются ускорению. Предшественник этой идеи, по-видимому, был подразумеван — хотя и не сформулирован явно — Полом Ланжевеном, когда он пытался объяснить «постоянный магнетизм».

Просто в дополнение к превосходному объяснению выше и потому, что вы, кажется, интересуетесь библиографическими источниками, лучший из которых, насколько я знаю, вы можете найти в:

Концептуальное развитие квантовой механики,

Макс Джаммер. (Главы 1 и 2)

Я нахожу обсуждение атома Бора Майклом Фаулером очень интересным.

Следующее не является ответом, это описание подхода Майкла Фаулера.

Похоже, что Майкл Фаулер широко использовал историческую документацию. В двух местах своего обсуждения Майкл Фаулер ссылается на письменное общение Бора с Резерфордом. Дискуссия количественная; понятия обсуждаются, а затем выражаются в формуле.

На первом этапе Бор пытался найти жизнеспособную модель стабильного состояния многоэлектронного атома, исходя из предположения, что модель должна включать постоянную Планка.

Цитата:
«Постоянная Планка играет роль в ограничении допустимых орбитальных изменений осцилляторов в излучении черного тела — и эти осцилляторы, хотя и не очень ясно понятые, имели тот же общий размер, что и атомы».

На этом этапе Бор руководствовался экспериментальными данными о том, что атомы бомбардируются высокоскоростными электронами и дают характеристическое рентгеновское излучение. Данные, по-видимому, подтверждают ожидаемую корреляцию между скоростью электрона (в самом низком энергетическом состоянии) и общим зарядом ядра.

Цитата:
«В феврале 1913 года Бор с удивлением обнаружил в случайной беседе со спектроскопистом Х. Р. Хансеном, что в кажущемся хаосе спектральных линий были обнаружены некоторые закономерности. В частности, Хансен показал ему формулу Бальмера для водорода».

Формула Бальмера была открыта раньше, но Бор не знал об этом.

Позже Бор сказал:
«Как только я увидел формулу Бальмера, мне сразу все стало ясно».

Бор понял, что наличие ряда в спектре показывает, что для водорода с его единственным электроном существует не просто одно стабильное основное состояние, а последовательность стационарных состояний.

Предупреждающее замечание:
как это часто бывает, когда физик занимается историей физики, вероятно, это повествование было сильно упрощено. Без сомнения, было много тупиков, и остался только успешный путь.

Тем не менее, у нас есть цитата самого Бора о его осознании, когда он узнал о сериале Бальмера. Очевидно, произошел большой скачок в его уровне уверенности в том, что он на правильном пути.

Я думаю, что Бор не сделал «блестящую догадку» о$L=\frac{nh}{2\pi}$. Вместо этого он предположил, что существует несколько стабильных состояний, каждое из которых имеет фиксированный уровень энергии; а разница между двумя энергетическими уровнями дает линию спектра (догадка, которая напрямую и естественно следует из формулы Бальмера), частота которой была связана с разностью энергий планковским соотношением частоты и энергии.$\Delta E=h\nu$(легкодоступные отношения в то время). Затем было получено квантование углового момента.

Это похоже на то, когда мы работаем над математической задачей, мы часто работаем от результата в обратном направлении к заданным условиям. Потом, когда пишем ответ, пишем от условий вперед к результату, как будто знаем, как решить задачу с первого раза.

В том же духе мы можем видеть, что де Бройль не сделал «блестящую догадку» уравнения массовой волны.$\lambda=\frac{h}{p}$и в конечном итоге подтверждается ее согласованностью с орбитами Бора; скорее, он попытался подогнать длину волны массы к орбитам Бора и пришел к уравнению, которое мы только что упомянули.