Нужно ли нам разложить потенциал в ряд по степеням, чтобы показать [x,V(x)]=0[x,V(x)]=0[x, V(x)] = 0?

В ваших рассуждениях нет ничего плохого; проблема в том, что ваше исходное предположение о том, что потенциал можно рассматривать как оператор умножения, необходимо обосновать. Вот почему:

Рассмотрим потенциальный оператор$V$действующий на государство$|\psi\rangle$. Позволять$X$обозначают позиционный оператор. Определение позиционного пространственного представления$V$действующий на волновую функцию пространственного положения$\psi$как следует:

$$\begin{align} V\psi(x) = \langle x| V|\psi\rangle \end{align}$$ Как вы заметили, если бы мы могли каким-то образом показать, что существует некоторая функция $\tilde V$такой, что $$\begin{align} V\psi(x) = \tilde V(x)\psi(x) \tag{$\star$} \end{align}$$ тогда у нас было бы $$\begin{align} XV\psi(x) &= X(\tilde V(x)\psi)(x) = \tilde V(x)X\psi(x) = \tilde V(x) x\psi(x) \end{align}$$ в то время как у нас также было бы $$\begin{align} VX\psi(x) = V(x\psi)(x) = xV\psi(x) = x\tilde V(x)\psi(x) = \tilde V(x)x\psi(x) \end{align}$$ что дало бы $XV = VX$по желанию. Дело в том, что это свойство $(\star)$не приходит бесплатно из приведенного выше определения. Если, однако, $V$например, определяется как некоторая аналитическая функция $\tilde V$оператора положения, то это свойство (по модулю некоторых математических тонкостей) выполняется, потому что для любой положительной целочисленной степени $n$из $X$, надо $$\begin{align} X^n\psi(x)=\langle x|X^n|\psi\rangle = x^n\langle x|\psi\rangle = x^n\psi(x) \end{align}$$ действуя $X$слева неоднократно. Затем это используется для каждого члена в разложении степенного ряда $V$в $X$получить собственность $(\star)$.

Примечание. Я немного злоупотребляю обозначениями и использую тот же символ$V$для позиционного оператора и его позиционного пространственного представления.

Я согласен с ответом joshphysic , что ваши рассуждения верны, но вам нужно обосновать$V(x)$является оператором умножения (то есть в пространстве позиций).

Может быть, мой взгляд на это может помочь: я считаю, что в таких вопросах, как физические мотивы, они имеют тенденцию быть наиболее интеллектуально полезными.

Вероятно, вы имеете дело с первым квантованным волновым уравнением с «полуклассической» моделью взаимодействия с внешним миром — скажем, с уравнением Шрёдингера или Дирака с консервативным потенциалом, накладываемым на гамильтониан квантовой частицы центральным, приблизительно неподвижным заряженным ядром. Квантовая природа происхождения этого потенциала для простоты игнорируется — иначе мы имели бы дело с квантовой проблемой многих тел.

Итак, как только собственное значение$x$наблюдаемого положения$X$было измерено путем применения наблюдаемой к состоянию квантовой частицы, стандартные квантовые постулаты говорят, что частица должна находиться в собственном состоянии положения, соответствующем$x$. Таким образом, в момент сразу после измерения положение частицы определено, и поэтому единственное разумное значение, которое мы можем постулировать для измерения «потенциальной энергии», равно$v(x)$, где$v(x)$является классической потенциальной функцией, и значение классического потенциала является определенным на момент после измерения, как только мы знаем, что положение$x$.

Аналогично для любого другого измерения положения с собственным состоянием положения.

Следовательно, мы видим, что каждое собственное состояние положения является собственным состоянием наблюдаемой, которую нам нужно построить для квазиклассического потенциала, а поскольку собственные состояния положения являются полными, т. е. любое квантовое состояние является суперпозицией этих состояний, то мы видим, что мы только что полностью определили диагонализация наблюдаемой потенциальной энергии. А именно, он диагональен в позиционных координатах, т.е. является оператором умножения$V \psi(x) = v(x) \psi(x)$.

Ваш основной результат также следует из рассмотрения того факта, что собственные состояния положения делают квазиклассический потенциал определенным, т. е. все они являются собственными состояниями и единственными собственными состояниями для потенциала. При подходящих разумных предположениях об операторах и квантовом пространстве состояний операторы коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же собственные состояния.