Итак, я прошел два курса по квантовой механике для старшекурсников, первый начался с волновой механики, а затем перешел к бра и кетам, второй курс более подробно касался бра, кетов, гильбертовых пространств и так далее (они ретушировали волновые механика ближе к концу). Но ближе к концу второго курса они также перешли к операторам/матрицам плотности.
Они были представлены как еще один уровень абстракции поверх более фундаментального гильбертова пространства, удобный инструмент при работе с классическими статистическими ансамблями чистых состояний.
Однако, читая учебник и другие источники, я видел, что это описано как более фундаментальное, чем чистые состояния, естественное описание подсистем более крупных запутанных систем и обладающее очень наводящим на размышления и привлекательным свойством, заключающимся в том, что существует однозначное соответствие. между состояниями и операторами, в отличие от формализма гильбертова пространства, где соответствие только до фазового множителя.
Итак, существует ли описание квантовой механики, которое берет операторы плотности в качестве основных объектов, подобно тому, как формализм бракетов начинается с лучей комплексного пространства? Если да, то на что это похоже, почему QM не преподается с точки зрения операторов плотности и где я могу найти ресурсы для его изучения? Кроме того, я часто слышал, что с ними неудобно работать, чем с бюстгальтерами и корсетами, почему?
Наконец, если мы представляем состояния операторами и рассматриваем чистые состояния как частные случаи операторов плотности, над чем они работают? Или это просто еще один случай представления абстрактных математических объектов в виде операторов для удобства, и нет смысла спрашивать, над чем они работают?
В квантовой механике фундаментальные объекты никогда не могут быть состояниями (такими как матрицы плотности). Фундаментальные объекты всегда наблюдаемы .
Это связано с некоммутативностью: в отличие от классических теорий вероятностей, где существует пространство событий (множество вместе с -алгебра измеримых подмножеств, событий), также называемая вселенной (в смысле теории вероятностей), в некоммутативных теориях вероятностей, таких как квантовая механика, нет вероятностной вселенной, а скорее набор некоммутативных случайных величин (наблюдаемых), и теория строится исходя из этого набора (математически говоря, это C*-алгебра).
Поэтому любая разумная математическая формулировка квантово-механической системы как некоммутативной теории вероятностей должна брать за отправную точку C*-алгебру наблюдаемых системы. Соответствующие состояния (некоммутативные вероятности) и, в частности, нормальные состояния относительно данного представления алгебры (матрицы плотности) являются «производным объектом»: они получаются двойственностью на алгебре наблюдаемых.
Замечу также, что квантовую механику можно изучать очень абстрактно (и, на мой взгляд, показательно), изучая свойства C*-алгебр. На самом деле многие интересные и хорошо известные особенности квантовой механики, такие как тот факт, что наблюдаемые являются операторами, действующими в гильбертовых пространствах, различие между чистыми и смешанными состояниями, существование неэквивалентных представлений алгебры канонических коммутационных соотношений в КТП, и многие другие очень хорошо понятны и объяснены на языке (и с использованием абстрактных свойств) операторных алгебр.
Стефан Ролланден
пользователь6873235
Люк