Квантовая проблема центральной силы и угловой момент

Законы сохранения

Я бы начал с самого основного вопроса. Любой оператор развивается во времени как:

$$O(t) = e^{\frac{i}{\hbar} Ht} O(0) e^{-\frac{i}{\hbar} Ht}$$ (это следствие того, что гамильтониан является генератором переносов времени), где $U(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} Ht}$является оператором эволюции времени. Из этого непосредственно следует, что, когда мы выводим это уравнение относительно времени, мы получаем: $$\frac{d}{dt}O(t) = -\frac{i}{\hbar}\left[O(t),H\right]$$ следовательно, если: $$\left[O(t),H\right] = 0\rightarrow \frac{d}{dt}O(t) = 0$$ и так можно сказать что $O$сохраняется, т. е. не меняется с течением времени.

Сохранение углового момента

Сохранение углового момента можно понять с точки зрения инвариантности относительно вращения (см. Редактирование ниже). Хотя это объяснение довольно элегантно, оно требует большого количества предварительных знаний, но можно применить более прямой подход, рассмотрев явное определение орбитального углового момента.$L$:

$$L_i = (x\times p)_i =\sum_{jk}\epsilon_{ijk}x_j p_k =-i\hbar\sum_{jk}\epsilon_{ijk}x_j\frac{\partial}{\partial x_k}$$ Гамильтониан для центрального потенциала записывается как: $$H = \frac{p^2}{2\mu}+U(r) = \frac{p^2_r}{2\mu}+\frac{L^2}{2\mu r^2}+U(r)$$ куда $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Теперь, вспомнив, что $[x_i,p_j] = i\hbar \delta_{ij}$у нас есть: $$\begin{align} [L_i,p^2] &= \sum_l [L_i,p_l]p_l+\sum_l p_l[L_i,p_l]\\ &=\sum_{ljk}\epsilon_{ijk}([x_j,p_l]p_kp_l+p_lp_k[x_i,p_l])\\ &=i\hbar \sum_{jk}\epsilon_{ijk}(p_jp_k+p_kp_j) = 0 \end{align}$$ поскольку $\epsilon_{ijk}$является антисимметричным.

Теперь мы используем известный результат$[p,f(x)]=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}f(x)$чтобы получить:

$$\begin{align} [L_i,U(r)] = \sum_{jk}\epsilon_{ijk}x_j[p_k,U(r)] =-i\hbar\sum_{jk}\epsilon_{ijk}x_j \frac{\partial r}{\partial x_k} \frac{\partial}{\partial r}U(r) \end{align}$$ сейчас: $$\frac{\partial r}{\partial x_k} = \frac{x_k}{r}$$ следовательно: $$\begin{align} [L_i,U(r)] = \sum_{jk}\epsilon_{jk}x_j[p_k,U(r)] =-i\hbar\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}U(r)\sum_{jk}\epsilon_{ijk}x_j x_k = 0 \end{align}$$ Заметь $x_j x_k= \frac{1}{2}\left([x_j,x_k]+\{x_j,x_k\}\right) =\frac{1}{2}\{x_j,x_k\}$поскольку координаты коммутируют между темами. Мы заключаем, что: $$[L_i,H] = 0$$ и что: $$[L^2,H] = 0,\qquad [L_i,L^2] = 0$$ поэтому угловой момент является сохраняющейся величиной. (Как было указано в комментарии, это тривиально следует из вращательной инвариантности гамильтониана)

Факторизация собственных значений

Коммутативность подразумевает, что существует общий базис собственных значений между$H$,$L_i$а также$L^2$(обычно мы выбираем$i=3$, т.е.$L_z$), мы называем их$\rvert n,l,m\rangle$:

$$\begin{align} &H \rvert n,l,m\rangle= E_n \rvert n,l,m\rangle\\ &L_z \rvert n,l,m\rangle =\hbar m \rvert n,l,m\rangle\\ &L^2 \rvert n,l,m\rangle= \hbar^2 l(l+1)\rvert n,l,m\rangle \end{align}$$ определим волновые функции в сферических координатах:

$$\begin{align} &x = r \sin\theta\cos\phi\\ &y =r \sin\theta\sin\phi\\ &z = r\cos\theta \end{align}$$

так как:

$$\psi_{nlm} = \langle r,\theta,\phi \rvert n,l,m\rangle=\psi_{nlm}(r,\theta,\phi)$$ теперь мы проецируем первое собственное уравнение на основе координат:

$$H\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) =E_n\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = (\frac{p^2_r}{2\mu}+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2\mu r^2}+U(r))\psi_{nlm}(r,\theta,\phi)$$ теперь очевидно, что это уравнение больше не зависит от $\theta$или $\phi$и поэтому решение должно упроститься как: $$\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = u_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$$ куда $Y_{lm}(\theta,\phi)$являются общими собственными значениями $L^2$а также $L_z$просто сделайте то же самое с собственными уравнениями $L_i$а также $L^2$и вы увидите, что: $$\begin{align} &L_z \psi_{nlm}(r,\theta,\phi) =\hbar m \psi_{nlm}(r,\theta,\phi)\\ &L^2 \psi_{nlm}(r,\theta,\phi)= \hbar^2 l(l+1)\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) \end{align}$$ где в координатной основе: $$\begin{align} &L_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\\ &L^2 = -\hbar^2\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right) \end{align}$$ поэтому и в этих уравнениях переменные разделяются (только $Y_{lm}(\theta,\phi)$останки).

Мы заключаем, что:

$$E_n u_{nl}(r) = (\frac{p^2_r}{2\mu}+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2\mu r^2}+U(r))u_{nl}(r)$$

Вращательная инвариантность

Рассмотрим теперь общий поворот оси координат, представленный матрицей$R_{ij}$так что:

$$x'_i = \sum_{j}R_{ij} x_j$$ а также $$p'_i = \sum_{j}R_{ij} p_j$$ ясно, что квадрат любого вектора остается инвариантным относительно поворотов, поскольку поворот по определению не может изменить свою длину: $$x'^2 = \sum_i\sum_{j}R_{ij} x_j \sum_{k}R_{ik} x_k = x^2$$ то находим условие: $$\sum_{j} R_{ij}R_{jk} = \delta_{ik}$$ а именно: $$R^T R=1$$ куда $R^T$транспонированная матрица.

Вращение$R$индуцирует в гильбертовом пространстве унитарное преобразование$U(R)$так что операторы координат преобразуются как:

$$U(R)^{\dagger}\hat{x}_i U(R) =\sum_j R_{ij}\hat{x}_j$$

это означает, что наш гамильтониан вращательно инвариантен:

$$U^{\dagger}(R)\,\hat{H}\, U(R) =\hat{H}$$ так как это только функция $r$а также $p^2$.

Теперь рассмотрим поворот на бесконечно малый угол:$R_{ij} = \delta_{ij}+\omega_{ij}+O(\omega^2)$то можно доказать, что:

$$U(1+\omega) = 1+ \frac{i}{2\hbar}\sum_{ij} \omega_{ij}L_{ij}$$ а именно, угловой момент является генератором вращений. Если мы подставим это инфинитезимальное преобразование в закон преобразования для гамильтониана, мы найдем: $$[H,L] = 0$$ поэтому инвариантность гамильтониана относительно вращения приводит к сохранению углового момента.

Последовательный характер искаженных утверждений и запутанных вопросов делает очень трудным придумать достойный ответ без правильного преподавания предмета, как это делают основные тексты: Сакураи, Ландау-Лифшиц, Мерцбахер, Мессия...

Заметим, что по построению$[H_{rel},L_i]=0 \ \ ; \ \ i=1,2,3$

"Строительство" неудачно. "Проверка" лучше. Легко показать, что r вращательно инвариантно, потому что$r^2=\vec x \cdot \vec x$это тривиально, чтобы показать в стандартных введениях углового момента.

Тот факт, что предыдущий коммутатор равен нулю, означает, что угловой момент является сохраняющейся величиной в системе, описываемой гамильтонианом$H_{rel}$

Теорема Нётер: каждой непрерывной симметрии (возведение в степень вашего коммутатора) соответствует сохраняющаяся величина (заряд). Все хорошие тексты и курсы освещают это, и Википедия тоже.

Сохранение углового момента означает, что мы можем записать волновую функцию в факторизованной форме (6)

«Подразумевает, что нам разрешено» — это садистский способ сказать «ведет к». Как подробно описано в другом вопросе, три сохраненных$\vec L$s можно объединить в оператор$L^2$в гамильтониане, который не действует на радиальные координаты, так что вы видите, что соответствующий pde разделяет свои переменные на функции r и функции θ, φ , так что не совсем полное разделение.

Почему$[H_{rel},L_i]=0$правда по конструкции ? Я бы проверил это, вычислив коммутатор; Есть ли способ лучше?

Существует эффективный прямой способ, как указано выше. См . ВП .

Почему тот факт, что коммутатор равен нулю, означает, что угловой момент сохраняется? Как мы докажем это утверждение?

Теорема Нётер, см. выше.

И главное: почему факт сохранения углового момента означает, что мы можем записать волновую функцию в факторизованной форме (6)?

Подсказал выше. Смотрите этот ответ . Сохранение углового момента полезно для разделения переменных, но даже в классической механике доказательство суперинтегрируемости нетривиально.