Квантовая теория Янга-Миллса и AdS/CFT

В принципе да, но есть несколько концептуальных и технических моментов, из-за которых неясно, как этого можно достичь. Несмотря на то, что AdS/CFT-соответствие предположительно является точным (на это намекает множество свидетельств), доказать это трудно, по существу, потому, что для проведения расчетов все равно приходится использовать приближения и теорию возмущений с той или иной стороны. . По сути, это связано с ее двойственной природой: она связывает сильно связанную теорию, с одной стороны, со слабосвязанной, с другой.

Это можно понять гораздо лучше в терминах фундаментальных констант связи теории: струнная связь определяется выражением$g_s$и связь Янга-Миллса$g_{YM}$, они связаны$g_{YM}^2=4\pi g_s$.

Что касается гравитации/струн, то расчеты возможны (если только вы не хотите решать теорию струн на искривленном фоне, что по существу является открытой проблемой) в супергравитационном приближении теории. Это справедливо, если мы возьмем$g_s\rightarrow0$а также предположим, что степень калибровочной группы (количество цветов)$N$доводится до бесконечности. Их продукт, муфта 't Hooft$\lambda=g_{YM}^2N=4\pi g_sN$однако должен оставаться фиксированным, но намного больше единицы. Для теории Янга-Миллса теория возмущений справедлива как раз на другом конце диапазона параметров, а именно, когда$\lambda$очень мал.

Это полезно для многих расчетов, поскольку позволяет составить карту непертурбативной области одной теории, рассматривая пертурбативную область другой, но затрудняет строгое доказательство чего-либо, особенно в рамках аксиоматического подхода, необходимого для теории. решение проблемы тысячелетия. Требование больших$N$еще больше ограничивает применимость двойственности в отношении доказательства чего-либо для общей калибровочной группы$SU(N)$.

Помимо этого, как упоминалось в другом ответе, оригинальная и наиболее известная формулировка находится, как следует из названия, между теорией струн и конформной теорией поля, которая по определению не имеет массового разрыва. Для решения таких проблем, как ограничение свободы и связанный с ним массовый разрыв, нужно работать с другими версиями дуальности, например с моделью Виттена, которая$AdS_7\times S^4$, с компактифицированной размерностью на$AdS$часть, которая нарушает суперсимметрию и вводит масштаб массы.

Чтобы было ясно, о чем мы говорим (поскольку я не совсем уверен, что именно это имел в виду вопрос), я расскажу о парадигматическом примере AdS/CFT, эквивалентности между$\mathcal N=4$Янга-Миллса, с одной стороны, и струны IIB (асимптотически)$AdS_5\times S^5$с другой (при общих параметрах: без ограничений по Т'Хоофту и т.д.).

Мы намного ближе к строгому определению левой части этого соответствия, чем правой. Здесь я имею в виду размещение теории на решетке и принятие некоторого подходящего предела по мере того, как расстояние между решетками становится малым. Трудность заключается в том, чтобы доказать, что это работает и дает все свойства, которые вы ожидаете (например, правильные симметрии должны быть восстановлены в пределе, поскольку решетка нарушит некоторые из них). С другой стороны, я думаю, справедливо будет сказать, что нет четкого представления о том, как могла бы выглядеть формулировка непертурбативной теории струн.

В самом деле, довольно часто можно услышать что-то вроде «Возьмите вашу любимую теорию квантовой гравитации, например, N=4 Янга-Миллса…», подразумевая, что именно четырехмерная теория поля определяет объемную теорию струн, а не наоборот, как вы хотели бы предложить. Задача здесь состоит в том, чтобы переупаковать переменные CFT так, чтобы то, что вы получаете, имело какое-то сходство с гравитацией...

И наконец, что касается Премии тысячелетия, то$\mathcal N=4$качественно отличается от обычного Янга-Миллса, в частности, является конформным, так что массового разрыва нет. Интегрируемость дает некоторый шанс "решить"$\mathcal N=4$, без ссылки на$AdS$, но это не принесет вам миллион долларов (хотя это может привести к некоторому пониманию того, как действовать дальше).