Квантовый пропагатор как амплитуда перехода

Рассмотрим систему, состояние которой изначально | ψ ( т я ) ⟩ . Позже т ф , его состояние будет

| ψ ( т ) ⟩ "=" U ( т я , т ф ) | ψ ( т я ) ⟩
где U ( т я , т ф ) "=" опыт ⁡ ( − я ЧАС ^ ( т ф − т я ) / ℏ ) — оператор эволюции во времени (в случае стационарного гамильтониана).

Теперь рассмотрим матричные элементы U ( т я , т ф ) в положении собственного базиса { | Икс ⟩ } . Мы определяем пропагатор как

⟨ Икс ф | U ( т я , т ф ) | Икс я ⟩

Как я могу показать, что пропагатор, определенный выше, также может быть записан как амплитуда перехода

⟨ Икс ф , т ф | Икс я , т я ⟩
?

Обновлять

Немного подумав, я пришел к следующему:

| Икс я , т я ⟩ "=" опыт ⁡ ( − я ЧАС ^ т я / ℏ ) | Икс я ⟩

и

| Икс ф , т ф ⟩ "=" опыт ⁡ ( − я ЧАС ^ т ф / ℏ ) | Икс ф ⟩ ⇒ ⟨ Икс ф , т ф | "=" ⟨ Икс ф | опыт ⁡ ( я ЧАС ^ т ф / ℏ )

тогда следует, что

⟨ Икс ф , т ф | Икс я , т я ⟩ "=" ⟨ Икс ф | опыт ⁡ ( − я ЧАС ^ ( т я − т ф ) / ℏ ) | Икс я ⟩

однако это приводит к неправильному знаку экспоненты, и я также полагаю, что могу смешивать картины Гейзенберга и Шредингера.

Ответы (1)

Если у вас нет альтернативного определения амплитуды перехода, данного в классе, я думаю, что этот вопрос - просто вопрос обозначения/определения. Когда вы пишете ⟨ Икс ф , т ф | Икс я , т я ⟩ вы имеете в виду именно матричный элемент оператора эволюции (название этого матричного элемента — ядро ​​или пропагатор) в представлении позиционного пространства.

В частности, обратите внимание, что, поскольку вы работаете с картиной Шредингера, базисные состояния { | Икс ⟩ } не зависят от времени.

Изменить: учитывая ваш комментарий, если говорится | Икс я , т я ⟩ должны быть сделаны на снимке Гейзенберга, тогда | Икс я , т я ⟩ "=" е я ℏ ЧАС ^ т я | Икс я ⟩ где | Икс я ⟩ является оператором изображения Шрёдингера в нулевой момент времени. Аналогично для | Икс ф , т ф ⟩ . Сопрягая и взяв внутренний продукт, мы получаем

⟨ Икс ф , т ф | Икс я , т я ⟩ "=" ⟨ Икс ф | е − я ℏ ЧАС ^ т ф е я ℏ ЧАС ^ т я | Икс я ⟩ "=" ⟨ Икс ф | е − я ℏ ЧАС ^ ( т ф − т я ) | Икс я ⟩ ⟨ Икс ф | U ^ ( т ф , т я ) | Икс я ⟩
как требуется.

Хм, Сакураи на странице 111 отмечает, что любое выражение «можно элегантно записать как» другое. Накахара (стр. 19) также делает набросок доказательства, которого я не понимаю.
я обновил свой ответ
Квантовый пропагатор как амплитуда перехода
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v