Квантовое управляющее уравнение в формализме Баталина-Вилковиского

Я читаю раздел 15.9 книги Вайнберга «Квантовая теория полей, том 2». Под смену дельта Ψ [ х ] в Ψ [ х ] , у нас есть

дельта Z "=" я ∫ [ г х ] опыт ⁡ ( я я Ψ [ х ] ) ( дельта р С [ х , х ‡ ] дельта х н ‡ ) х ‡ "=" дельта Ψ / дельта х ( дельта ( дельта Ψ [ х ] ) дельта х н ) "=" я ∫ [ г х ] опыт ⁡ ( я я Ψ [ х ] ) { дельта л дельта х н ( дельта р С дельта х н ‡ дельта Ψ ) − дельта р дельта х н ‡ дельта л С дельта х н дельта Ψ } х ‡ "=" дельта Ψ / дельта х "=" ∫ [ г х ] опыт ⁡ ( я я Ψ [ х ] ) { дельта р С [ х , х ‡ ] дельта х н ‡ дельта л я Ψ [ х ] дельта х н − я Δ С [ х , х ‡ ] } х ‡ "=" дельта Ψ / дельта х дельта Ψ [ х ]

Последняя строка точно такая же, как в уравнении. (15.9.33). Ссылаясь на определение антискобки

( Ф , г ) "=" дельта р Ф дельта х н дельта л г дельта х н ‡ − дельта р Ф дельта х н ‡ дельта л г дельта х н

мы можем видеть, что основное квантовое уравнение читается

− ( С , С ) − 2 я Δ С "=" 0

который имеет лишний знак минус. Я не уверен, опечатка это или нет. Может ли кто-нибудь помочь мне проверить этот вывод?

Кроме того, меня также смущает дельта л и дельта р . Любые разъяснения будут оценены.

Спасибо заранее!

Привет @soliton: Ур. (15.9.35) в книге Вайнберга читаем ( С , С ) − 2 я Δ С "=" 0 , что является обычной формой и без лишнего минуса. Является ли дополнительный минус чем-то, что вы получаете?
@Qmechanic: Да. Если уравнение (15.9.33) будет иметь лишний минус.

Ответы (1)

I) Сначала выясним левые и правые производные. Левые производные объясняются между уравнением. (15.8.9) и (15.8.10) в работе. 1. Левая производная означает производную, действующую слева . Например, если Ф "=" х г , где г не зависит от х , затем дельта л Ф дельта х "=" г . Точно так же правая производная действует от права. Например, если Ф "=" г х , затем дельта р Ф дельта х "=" г . Затем можно выяснить, что левые и правые производные равны с точностью до знака:

(А) дельта л Ф дельта х   "="   ( − 1 ) ( | Ф | + 1 ) | х | дельта р Ф дельта х .

Здесь | Ф | обозначает четность Грассмана Ф . Отметим, в частности, что левая и правая производные калибровочного фермиона Ψ [ х ] одинаковы:

(Б) дельта л Ψ дельта х   "="   дельта р Ψ дельта х , | Ψ |   "="   1.

II) Теперь рассмотрим формализм Баталина-Вилковиского . Начнем с полного квантового основного действия. С [ х , х ‡ ] , что зависит от полей х н и антиполя х н ‡ .

Нечетный лапласиан первоначально определен в уравнении. (16b) ссылки. 2 как

(16б) Δ Б В   "="   дельта р дельта х н дельта л дельта х н ‡ .

Ссылка 1 определяет (ошибочно) нечетный лапласиан как

(15.9.34) Δ С Вт   "="   дельта р дельта х н ‡ дельта л дельта х н .

Можно показать, что два определения (16b) и (15.9.34) связаны соотношением

(С) Δ Б В Ф   "="   ( − 1 ) | Ф | + 1 Δ С Вт Ф .

В частности, два определения (16б) и (15.9.34) отличаются знаком

(Д) Δ Б В С   "="   − Δ С Вт С , | С |   "="   0 ,

применительно к действию С , то есть Грассман-четный | С | "=" 0 .

III) Основное квантовое уравнение (QME) читается в Ref. 2

(16а) 1 2 ( С , С )   "="   я ℏ Δ Б В С ,

в то время как QME в Ref. 1 читает

(15.9.35) 1 2 ( С , С )   "="   я ℏ Δ С Вт С .

Так что ОП прав. уравнения (15.9.34) и (15.9.35) взаимно несовместимы. Неверный знак в Ref. 1 в любом уравнении. (15.9.34) или ур. (15.9.35).

Использованная литература:

  1. С. Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 2, 1996.

  2. Баталин И.А., Вилковиский Г.А. Калибровочная алгебра и квантование // Физ. лат. Б. 102 (1981) 27–31.

Большое спасибо. Это очень полезно. Я также читал реф. 2, но я неправильно понял, что дельта л в исх. 1 совпадает с дельта р в исх. 2.
У меня есть еще один вопрос. Почему мы определяем дельта л как действие слева? Это противоречит определению этой страницы Википедии , где ф ∂ ← Икс г "=" ∂ ф ∂ Икс ⋅ г .
Как всегда у разных авторов разные условности. Существуют разные соглашения для левых и правых производных. Точно так же существуют разные соглашения для действий левой и правой группы и так далее. Упомянутая вами страница Википедии не заслуживает доверия в ее нынешнем состоянии. Я мог бы улучшить его в какой-то момент в будущем.
Квантовое управляющее уравнение в формализме Баталина-Вилковиского
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v