Квантовые операторы безразмерны?

Я немного смущен тем, являются ли квантовые (эрмитовы) операторы, которые мы получаем, превращая наблюдаемые в операторы, безразмерными или нет?

Ясно, что гамильтониан системы, скажем, гармонического осциллятора, имеет единицы энергии. Имеет ли гамильтониан соответствующей квантово-механической системы также единицы энергии?

Я подозреваю, что это так, потому что только тогда процедура обезразмеривания гамильтониана путем введения операторов создания и уничтожения будет иметь смысл, как это сделано на: http://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators , начиная с позиционного представления СЭ, однако. Но мысль об операторах, имеющих размерность, не кажется мне интуитивно понятной.

Было бы здорово, если бы кто-нибудь объяснил это.

Ответы (4)

Операторы создания и уничтожения не являются наблюдаемыми. Они явно не отшельники, потому что а ≠ а † . Но что касается вашего вопроса, рассмотрите числовой оператор ( Н к "=" а к а к † ) . Поскольку собственное значение числового оператора является безразмерным числом, операторы создания и уничтожения также должны быть безразмерными.

Полный гамильтониан имеет размерность энергии, так как [ ℏ ] "=" Дж с / р а г и [ ю "=" р а г / с , так [ ℏ ю ] "=" Дж .

Это именно то, что я имел/имею в виду; однако простое размышление об операторах, имеющих размерность, не имеет интуитивного смысла. Я пытаюсь визуализировать это через матричное представление операторов. Единственный тонкий момент, который я упустил, это то, что: эй, вот матрица *n; умножьте его, например, на h bar, и вы получите размерный оператор. Верно?
Я думаю, что размерный оператор сам по себе не является проблемой. Размерные матрицы встречаются и в классической механике (вспомните тензор инерции или тензор силового поля). Чтобы удовлетворить математически более строгие требования к матричным операциям: вы обычно имеете дело с уравнениями, поэтому вы можете переписать все в безразмерном виде.

Операторы подъема и опускания безразмерны. Операторы положения и импульса записываются в соответствии с

Икс "=" ℏ м ю д ,   ∂ ∂ Икс "=" м ю ℏ ∂ ∂ д
с п "=" − я ℏ ∂ / ∂ Икс затем мы записываем повышающие и понижающие операторы в соответствии с этими безразмерными операторами
а "=" 1 2 ( д − ∂ ∂ д ) ,   а † "=" 1 2 ( д + ∂ ∂ д )
Гамильтониан ЧАС "=" 1 2 ℏ ю а † а и размеры восстановлены.

Поскольку это вопрос о размерах, вы можете восстановить ℏ в гамильтониане, поскольку в противном случае он имеет частотные, а не энергетические единицы.

Два способа, которые могут помочь вам увидеть, что операторы вообще должны иметь единицы измерения:

  1. Квантовый гамильтониан должен иметь единицы энергии, потому что опыт ⁡ ( я ЧАС ℏ т ) – оператор эволюции во времени, так что показатель степени безразмерен; иначе говоря: уравнение Шрёдингера имеет вид я ℏ ∂ т ψ "=" ЧАС ψ , так что ЧАС должны иметь те же единицы измерения, что и ℏ / т ;

  2. Все операторы, о которых вы говорите, помимо лестничных операторов, также являются наблюдаемыми : их реальные собственные значения представляют возможные реальные результаты измерений, и поэтому единицы собственных значений должны соответствовать единицам потенциальных измерений. В случае конечномерного оператора можно было бы факторизовать оператор как А "=" п Λ п − 1 и любые единицы п и п − 1 отмена.

Уже есть хорошие ответы, вот еще несколько способов помочь увидеть это:

  1. Если вы уже согласны с тем, что векторы могут иметь единицы (например, в Ф "=" м а ), то вы уже согласились с тем, что алгебраические конструкции, которые не являются просто числами, могут иметь единицы измерения. Случай с оператором не сложнее.
  2. Вы уже видели примеры операторов с единицами в классической механике. Например, рассмотрим уравнение л "=" я ю . Для общего трехмерного объекта обобщение л "=" я ^ ю , где я ^ есть «тензор момента инерции». Это причудливый способ сказать я ^ является линейным оператором и, очевидно, должен иметь те же единицы измерения, что и скаляр я делал.
Квантовые операторы безразмерны?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v