Размерности физических величин в квантовой механике

На большинстве вводных занятий по квантовой механике нас знакомят с обозначениями Дирака, понятием «состояние» системы, представленным в виде абстрактного вектора в связанном с ним гильбертовом пространстве, и нам говорят, что измерения физических величин связаны с действием эрмитова оператора, связанного с соответствующей величиной волновой функции. Затем нам говорят, что результатом измерения является одно из собственных значений оператора и т. д.

Однако предполагается, что эти измерения относятся к физическим наблюдаемым величинам. Таким образом, всякий раз, когда в классической физике производится измерение, оно должно порождать физическую величину с измерениями (размерами, я имею в виду длину, энергию и т. д.).

Где именно размерность измеряемой величины фигурирует при обсуждении QM? Например, если я скажу, что | Икс 0 ⟩ является собственным состоянием оператора положения Икс , то действие позиционного оператора в кет записывается следующим образом:

Икс | Икс 0 ⟩ "=" Икс 0 | Икс 0 ⟩
Вот какое количество Икс 0 ? Это просто чистое число? Или делает Икс 0 есть единицы длины?

Если Икс 0 это просто чистое число, то при чем здесь размерность длины? Если значение Икс 0 имеет размерность длины, то может ли оператор Икс работать с волновым вектором, умноженным на величину с физическими размерами?

Также являются операторами вида л 2 + л г , или п + Икс (которые относятся к физическим величинам разной размерности; с ними не умножаются константы) действительные операторы, и какое обоснование (для них либо существующие, либо не существующие)?

Аналогичный вопрос: physics.stackexchange.com/q/187006/73 , в частности пункт (d).
@ Харальд Да, вопрос связан с моим. Но что мешает добавить два оператора разной размерности?

Ответы (2)

В трактовке размерных величин в квантовой механике нет ничего особенного. В конкретном примере оператора позиции, который вы упомянули,

Икс ^ | Икс 0 ⟩ "=" Икс 0 | Икс 0 ⟩ ,

номер Икс 0 имеет размерность длины, так как это один из возможных результатов измерения положения.

Добавление операторов имеет смысл только в том случае, если операторы имеют одинаковые единицы измерения. Например, в подходе лестничного оператора к квантовому гармоническому осциллятору оператор уничтожения определяется как

а ^ "=" м ю 2 ℏ ( Икс ^ + я м ю п ^ )

Фактор я м ю гарантирует, что оба оператора имеют одинаковые единицы измерения. Точно так же выражение л ^ 2 + ℏ л ^ г является правильным по размеру, потому что ℏ имеет единицы углового момента. (Обратите внимание, что если вы используете натуральные единицы , то ℏ "=" 1 , а можно и написать л ^ 2 + л ^ г .)

Да, поймите, что обычно операторы добавляются путем умножения их на нужные единицы. Однако есть ли что-то, что явно мешает мне складывать вместе операторы разных размерностей, или это просто здравый смысл?
Должен признаться, что всегда считал «очевидным» тот факт, что нельзя складывать величины с разными размерностями. (Квантовой или классической, неважно!) Это не значит, что для этого нет глубокой причины. В конечном счете, это выражение принципа размерной однородности .
Вы можете думать об операторах как о больших матрицах, где каждая запись имеет размерность самого оператора. Следовательно, тот факт, что вы не можете складывать величины разной размерности, распространяется и на операторов.

Измерения гильбертова пространства счетны, т. е. каждому измерению может быть присвоено целое число, и, таким образом, все измерения обозначаются уникальным образом с помощью 1, 2, 3, .... Векторное пространство, которое является гильбертовым пространством, имеет некоторые дополнительные характеристики.......

В случае атома водорода нам пришлось использовать три квантовых числа n, l и m, чтобы полностью охарактеризовать собственные функции энергии. Без доказательства индексы 1 и т характеризуют собственные значения квадрата оператора углового момента L2 и z-компоненты углового момента Lz с собственными значениями 1(1 + 1)~2 и т~ соответственно.

Можно показать, что оператор Гамильтона атома водорода, квадрат оператора углового момента и z-компонента оператора углового момента коммутируют друг с другом и образуют полную систему коммутирующих операторов (CSCO), собственные значения которой позволяют уникальная характеристика энергетических собственных состояний атома водорода>

Приведенная выше цитата взята с http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-974-fundamentals-of-photonics-quantum-electronics-spring-2006/lecture-notes/chapter5 . .pdf

приведенная выше цитата была только для того, чтобы подготовить почву для того, как вещи/наблюдаемые представляются в гильбертовом пространстве.

Вы поднимаете вопрос о связи измеряемых наблюдаемых единиц измерения и измерений (как это доступно в классической механике/ньютоновской механике) и их связи с размерностями векторных пространств.

Я думаю, что когда формализм классической механики переходит к каноническим представлениям и определяющими уравнениями являются, скажем, уравнения Гамильтона, нормальные координаты заменяются «обобщенными координатами», а энергия, импульсы также берутся на эквивалентной основе, что приводит к некоторому преимуществу в решении проблем.

когда кто-то переходит к квантовой механике, размеры наблюдаемой определяются количеством состояний, в которых ожидается, что система останется.

Когда кто-то измеряет, скажем, положение, импульс или энергию, ожидаемое значение результата измерения дается в соответствующих единицах измерения, а не в каком-то абстрактном числе. например, скажем, энергия нейтронного пучка измеряется в МэВ, хотя это ожидаемое значение гамильтониана, взятое в конкретном собственном состоянии. аналогично основному состоянию атома водорода...... или основному состоянию дейтрона....

Размерности физических величин в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v