Бюстгальтеры и комплекты имеют размеры?

Это очень интересный вопрос. Я не знаю, есть ли общий и окончательный ответ, но я попытаюсь сделать некоторые комментарии. Я извиняюсь, если это заканчивается бессвязностью; Я узнаю это, когда пишу этот ответ.

Операторы имеют размерности, так как их собственные значения являются физическими величинами. Для бюстгальтеров и комплектов все становится сложнее. Во-первых, вообще нельзя сказать, что они безразмерны. Чтобы понять почему, рассмотрим состояние с определенной позицией$|x\rangle$. С$\langle x | x' \rangle = \delta(x-x')$а дельта Дирака имеет размерность, обратную своему аргументу, должно быть так, что$[ \langle x | ] \times [ | x \rangle ] = 1/L$. Аналогичное соотношение справедливо и для собственных состояний импульса. Конечно, есть высшие силы$L$в более высоких измерениях.

Однако рассмотрим оператор с дискретным спектром, такой как энергия в атоме или что-то в этом роде. Тогда соответствующее уравнение$\langle m | n \rangle = \delta_{mn}$, а так как эта дельта безразмерна, то лифчики и кеты должны иметь обратные размеры. Это становится еще более странным, если учесть, что гамильтониан для атома водорода имеет как дискретные, так и непрерывные собственные значения, поэтому соотношение между размерами бюстгальтеров и кетов будет различным в зависимости от энергии (или любой другой подходящей физической величины).

У нас есть уравнение$\langle x | p \rangle = \frac1{\sqrt{2\pi\hbar}} \exp(ipx/\hbar)$. Я сначала подумал, что это в сочетании с$[\langle x |] \times [| p \rangle ] = [\langle p |] \times [| x \rangle ]$позволит найти размеры$|x\rangle$(и все остальное), но оказывается, что условия нормировки$|x\rangle$и$|p\rangle$форсировать размеры$\langle x | p \rangle$правильно выйти. Мы можем найти это$[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, но мы не можем идти дальше. Аналогичные отношения применимы к собственным состояниям вашего любимого оператора.

Любой данный кет представляет собой линейную комбинацию собственных кетов, но опять же есть тонкости в зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным. Предположим, у нас есть две наблюдаемые$O_1$и$O_2$с дискретным спектром и собственными состояниями$|n\rangle_1$и$|n\rangle_2$. Любое состояние$|\psi\rangle$может быть выражена как безразмерная линейная комбинация собственных состояний (безразмерная, потому что, поскольку$\langle n | n \rangle = 1$, квадраты коэффициентов составляют вероятности):$|\psi\rangle = \sum_n a_n |n\rangle_1 = \sum_n b_n |n\rangle_2$. Это означает, что собственные наборы всех наблюдаемых с дискретным спектром имеют одинаковые размеры, и то же самое для собственных значений.

Это становится сложнее для наблюдаемых с непрерывным спектром, таких как$x$и$p$, из-за меры интегрирования. У нас есть$|\psi\rangle = \int f(x) |x\rangle\ dx = \int g(p) |p\rangle\ dp$.$\langle \psi | \psi \rangle = 1$подразумевает$\int |f(x)|^2\ dx = 1$, так что$[f] = 1/\sqrt{L}$а также$[g] = \sqrt{T/ML}$. Это не должно вызывать удивления, поскольку$f$и$g$являются преобразованиями Фурье друг друга с$1/\sqrt{\hbar}$брошен. Из этого мы можем вывести$[|p\rangle] = \sqrt{T/M} [|x \rangle]$, который мы уже знали, и$\sqrt{L} [|x \rangle] = [|n \rangle]$.

Вывод видится следующим. Все собственные наборы с дискретными собственными значениями должны иметь одинаковую размерность, но похоже, что эта размерность произвольна (так что вы можете считать их безразмерными). Кроме того, нормализованные состояния имеют такое же измерение. Собственные состояния с непрерывным спектром более сложны; если у нас есть наблюдаемая$A$(с непрерывными собственными значениями) с собственными значениями$a$, то мы можем использовать тот факт, что$|\psi\rangle$можно записать либо в виде интеграла по собственным состояниям$A$или как сумму по дискретным собственным состояниям, чтобы найти, что$\sqrt{[a]} [|a\rangle] = [|n\rangle]$, где$|n\rangle$— некоторый дискретный собственный набор. Таким образом, как только вы зафиксируете размеры одного комплекта, вы зафиксируете размеры всех остальных комплектов.

Это забавный вопрос, и я не уверен, что на него действительно есть правильный ответ, поэтому я хотел предложить немного другую точку зрения.

Что такое юниты? Единицы говорят нам, как количества трансформируются при изменении масштаба. Причина, по которой мы говорим расстояние$d$имеет единицы длины, заключается в том, что числовое значение, присвоенное$d$будет масштабироваться в 10 раз, если мы решим использовать миллиметры, а не сантиметры.

С другой стороны, у нас есть квантовая механика, где состояния представлены лучами в гильбертовом пространстве. Другими словами, мы рассматриваем два состояния,$|\chi\rangle$и$|\phi\rangle$, чтобы быть физически эквивалентными, если они связаны соотношением$|\chi\rangle = \lambda |\phi \rangle$для некоторого комплексного числа$\lambda$.

Итак, вопрос в том, если мы изменим нашу единицу длины, на какой коэффициент мы должны масштабировать наш вектор состояния?

Что ж, обычно мы имеем дело с эквивалентностью различных состояний на луче, решая каким-то образом нормализовать наши состояния. Итак, вопрос в том, должна ли нормализация состояний измениться при изменении масштаба нашей ссылки на длину? (или время, или масса, или...)

Для дискретного набора собственных состояний, помеченного целым числом$|n\rangle$, мы можем разумно выбрать нормализацию таких состояний, как$\langle m | n \rangle = \delta_{m,n}$, где правая часть безразмерна. Тогда не имеет смысла, чтобы условие нормализации масштабировалось по длине.

Для непрерывных собственных состояний состояния не являются действительно нормируемыми, а только нормализуемыми с помощью дельта-функции.$\langle x | y \rangle = \delta(x-y)$. Чтобы избежать введения произвольной константы с единицами длины в правой части, имеет смысл нормализовать наши состояния в масштабе с размерами$L^{-1/2}$.

Один из способов интерпретировать различие между непрерывными и дискретными собственными состояниями состоит в том, чтобы отметить следующее.$|\langle n | \psi \rangle|^2$это вероятность наблюдать, что состояние имеет собственное значение$n$, пока$|\langle x | \psi \rangle|^2$- плотность вероятности того, что частица будет находиться в$x$.

Этот вопрос исследуется в статье 2020 года «Есть ли размеры у бюстгальтеров и бюстгальтеров?» . Короче говоря, единицы бюстгальтера или кета имеют некоторую свободу, как упоминалось некоторыми другими ответчиками. Полезным соглашением является то, что единицы бюстгальтера и кета равны. Если у нас есть нормализованные состояния, где

$$\langle\alpha\vert\alpha\rangle=1,$$ тогда и бюстгальтер, и кэт будут безразмерны. Их результаты суммированы в таблице 1 из рукописи:

Однако если у нас есть непрерывная основа:

$$\langle x\vert y\rangle=\delta(x-y),$$ тогда единицы дельта-функции подразумевают, что бюстгальтеры и кеды будут иметь единицы. Повторяя аргументы в статье, мы можем снова принять их за одно и то же. В базисе положения это дает как бюстгальтер, так и кет единицы.$1/\sqrt{L}$.

Действительно хороший вопрос.

Измерения имеют единицу, но в квантовой механике измерение — это «оценка» наблюдаемого состояния (или состояния наблюдаемого), что-то вроде

$$\left\langle \psi | A | \psi \right\rangle ,\quad \psi\in\mathcal{H},\ A\in\mathcal{B}(\mathcal{H}) \ \text{self-adjoint}$$ Априори кажется, что существует произвол в выборе единицы измерения для $|\psi\rangle$и $A$но обычно измерение представляет собой выпуклую комбинацию собственных значений $A$(или интеграл плотности вероятности по спектру), так что собственные значения действительно имеют единицу наблюдаемого (длина наблюдаемого - это положение, масса, умноженная на скорость, если это наблюдаемый импульс)

Если$\left\lVert \psi\right\rVert^2$имеет интерпретацию плотности вероятности присутствия имеет единицу$\frac{1}{Volume}$(или длина в 1 измерении), что отменяет$dx$интегрирования (как вы написали в своем первом уравнении). Так что если$|\psi\rangle$не имеет размерности, то$|x\rangle$действительно имеет размерность$\frac{1}{\sqrt{L}}$(длина L).

ОООоооо, большая возможная путаница, возникающая из квантовой теории поля (а также случай вторичного квантования уравнения Шрёдингера), когда кто-то записывает действие как функционал полей, тогда они имеют размерности, но они являются операторами и играют роль, которая больше похоже на наблюдаемое$A$а не государство.