Лагранжиан для уравнений Эйлера в общей теории относительности

Уважаемый Ondřeji, хороший вопрос, но часть ответа заключается в том, что ваше уравнение для жидкости недоопределено. Это лечит$p,\rho$как независимые переменные. Но физическая система знает, как себя вести, только если вы подставите еще какое-нибудь уравнение состояния, т. е. функцию$p=p(\rho)$или же$p=p(\rho,\vec v)$. Обратите внимание, что ваш анзац для тензора энергии-импульса зависит от 6 параметров, 4 из которых$v_\mu$а также$p$а также$\rho$, который является большинством из 10 общих параметров в общем тензоре энергии-импульса. Итак, то, что вы написали, - это немного особое, но не слишком особенное подмножество тензоров энергии-импульса. Однако, когда вы пишете действие для некоторых переменных, принцип наименьшего действия всегда сразу говорит вам, как эволюционируют все степени свободы, а вы не указали уравнения, поэтому вы не можете написать действие. Для пыли эта проблема на самом деле не возникает, потому что пыль движется по геодезическим, что, вероятно, следует из$\delta S=0$, слишком.

Для уравнений Навье-Стокса нет лагранжиана, потому что они включают вязкость, т.е. диссипацию энергии, и для таких необратимых систем с членами, подобными трению, невозможно написать фундаментальное описание, основанное на действии. Однако можно найти обобщенное описание такого рода, «стохастическое описание наименьшего действия», которое имеет некоторую дополнительную интеграцию по случайным переменным, см., например, http://arxiv.org/abs/0810.0817 .

Два ваших «определения» тензора энергии-импульса полностью эквивалентны. Если вывести уравнения Эйнштейна из принципа наименьшего действия, а зависимость от производных метрического тензора просто кратна$R$, то правая часть уравнений Эйнштейна точно содержит вариацию$S$относительно метрического тензора. Вы не можете сказать, что одно из них лучше другого: они одинаковы всякий раз, когда существует действие. Когда действие не существует, вы все равно можете определить тензор энергии-импульса как правую часть уравнений Эйнштейна, но отсутствие «формулы вариации» для тензора в основном просто из-за невежества, потому что существует лежащий в основе Лагранжиан для любой интересной теории (материи, связанной с гравитацией) в$d=4$. Позвольте мне также упомянуть, что существует другое определение тензора энергии-импульса, полученное как (ковариантизированный) нётеровский ток из трансляционных симметрий пространства-времени в пределе исчезающей гравитации, т. е. определение, связанное с законом сохранения и симметриями. Обычно это то же самое, что и вариант, который вы написали, когда вариант четко определен.