Как найти тензор энергии-напряжения?

Чтобы ответить на ваш первый вопрос: частицы и поля разделены. Частицы являются неприводимыми возбуждениями полей. Получить частицы можно только после квантования полей.

Однако часто можно встретить людей, использующих частицы без квантования полей (в классической механике и ОТО). Вы должны понимать, что это приблизительные модели, полученные в предположении, что плотность энергии полей сосредоточена в точечных частицах.

В основе неквантовой физики лежат непрерывные материальные поля для фотонов, электронов, кварков и т. д. Эти поля (чаще всего тензорные поля) имеют вид

$${{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}(x,y,z,t)$$ $(i)$обозначает тип поля (например, фотон, бозон Хиггса и т. д.). К ним относятся скаляры, векторы, ковекторы, спиноры и т. д. Плотность лагранжиана $L$обычно является функцией компонент этих различных полей и метрического тензора. Нужно полагаться на наблюдение и другие соображения (например, на калибровочные симметрии), чтобы построить ковариантный (значение всегда фиксируется в событии) лагранжиан. Таким образом, «конфигурация», о которой вы говорите, зависит от всех этих факторов.

Ваш второй вопрос на самом деле гораздо интереснее. Обычно используются 2 тензора SE. Они отличаются расходимостью антисимметричного тензора. Этот документ: http://authors.library.caltech.edu/19366/1/GoMa1992.pdf обсуждает это подробно.

Первый - это канонический тензор SE, полученный как сохраняющийся ток с использованием теоремы Нётер из пространственно-временной трансляционной инвариантности лагранжиана.

Тензор второго типа выводится из соображений диффеоморфной инвариантности действия. Он называется SE-тензором Белинфанте-Розенфельда. Диффеоморфизм — это очень сложное и обобщенное понятие перевода. Пусть векторное поле$X$быть генератором общего диффеоморфизма${\phi}^*$и объем интеграции$F$.$X$исчезает снаружи$F$. Итак, у нас есть

$${\int}_{F}L{\eta}-{\phi}^*(L{\eta}) = 0$$ Таким образом $${\int}_{F}D_{X}(L{\eta})=0$$ где ${\eta}$это объемная форма (я опустил коэффициент 1/4!)

Разворачивая РШ, получаем:

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}[(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}}}-(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g;c}}})_{;c})D_{X}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}} + \frac{1}{2}T^{ab}D_{X}g_{ab}]{\eta}=0$$

Как видите, первый член — это уравнение Эйлера, которое равно нулю для каждой компоненты поля, поэтому каждый член в первой части интеграла равен нулю.

Теперь основной результат, который может быть непосредственно выведен из определения диффеоморфизма, таков:

$$D_{X}g_{ab}= X_{a;b} + X_{b;a}$$

Подставляя это в приведенную выше формулу

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}((T^{ab}X_a)_{;b}-(T^{ab}_{;b})X_a){\eta}=0$$

Первый член можно преобразовать в поверхностный интеграл на границе$F$и исчезает как$X$исчезает на границе$F$. Это оставляет нас с

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}-(T^{ab}_{;b})X_a{\eta}=0$$

Теперь вышесказанное всегда должно быть верным для любого произвольного$X$, это возможно только в том случае, если$(T^{ab}_{;b})=0$.

Этот тензор всегда симметричен и калибровочно инвариантен, поэтому он гораздо полезнее в ОТО, чем канонический тензор. Обратитесь к статье, указанной выше, чтобы узнать больше о тонких различиях между ними.

Ссылки: Глава 3, «Крупномасштабная структура пространства-времени» Хокинга и Эллиса.