Лагражева плотность безмассового скалярного поля

Возможны разные варианты ответов, в зависимости от того, откуда вы исходите. Я дам несколько.

1. Рассмотрим все возможные лагранжевы плотности, которые мы можем записать и которые лоренц-инвариантны, нетривиальны и имеют устойчивое вакуумное состояние. Тогда формулы, которые вы дали, являются буквально самыми простыми возможными вариантами:

   • $\mathcal L$должна быть функцией$\phi$и$\partial_\mu\phi$.
   • $\mathcal L$должен содержать$\partial_\mu\phi$где-то, иначе теория была бы тривиальной, потому что$\phi$не будет динамичным.
   • Простейший скаляр Лоренца, который мы можем построить с помощью$\partial_\mu \phi$является$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi$.
   • Помимо этого, следующий простейший вариант может быть$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi + c \phi$, но в этой теории нет стабильного вакуумного/основного состояния, потому что потенциал$V(\phi) = -c\phi$не ограничен снизу.
   • Поэтому следующий простейший вариант$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi - m^2 \phi^2$.

2. Вы хотите описать поле, удовлетворяющее уравнению Клейна-Гордона$\partial_\mu\partial^\mu \phi = 0$. Вы записываете плотность Лагранжа$\mathcal L \sim \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi$и убедитесь, что правильное уравнение движения следует.

3. Вы начинаете с ряда связанных осцилляторов и записываете их действие, как в (релятивистской) классической механике. Если близко расположено много осцилляторов, их можно приблизительно описать как классическое поле. Выполнение этого приближения дает выражение для действия через плотность лагранжиана$\mathcal L \sim \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi - m^2\phi^2$.