Некая N=2N=2\cal{N}=2 суперконформная теория (или нет?)

Не знаю, упражнение ли это, но для этой системы есть известная карта Николаи, которая выглядит следующим образом: напишите комплексное поле$\phi = \phi_1 + i\phi_2$что является скалярной частью кирального поля в терминах действительной и мнимой компонент. Затем рассмотрим стохастическое уравнение (евклидово пространство):

$$\partial_\bar{z} \phi + W(\phi) = \eta$$

Где$\eta$представляет собой сложный белый шум, означающий случайную величину, которая является случайной от точки к точке, а W представляет собой комплексную функцию значений поля. С точки зрения реальной и мнимой частей, называя две пространственные координаты x, y:

$$\partial_x \phi_1 + \partial_y \phi_2 + W_1(\phi_1,\phi_2)= \eta_1$$ $$\partial_y \phi_1 - \partial_x \phi_2 + W_2(\phi_1,\phi_2)=\eta_2$$

Вероятность$\eta$наличие заданного значения является произведением гауссиана в каждой точке пространства, вот что значит иметь стохастическое уравнение:

$$P(\eta) = e^{-\int {1\over 2} (\eta_1^2 + \eta_2^2)}$$

В этой форме вы выполняете невзвешенный интеграл по путям по$\eta$найти вероятность конфигурации. Это означает, генерировать$\eta$в соответствии с этим тривиальным распределением (вы можете сделать решетку и сгенерировать$\eta$s как независимые гауссианы в каждой точке). Затем используйте приведенные выше нелинейные уравнения, чтобы найти поле$\phi$, и это дает вам конфигурацию стохастического уравнения.

Тогда корреляционные функции скаляра задаются путевым интегралом

$$\langle \phi_i(x)\phi_(x') \rangle = \int \phi_i(x)\phi_j(x') P(\eta) D\eta$$

Пока P нормализован правильно, это означает, что вы делите интеграл по путям без вставок.

Магия карты Николаи (или суперсимметрии Паризи-Сурла любого стохастического уравнения) заключается в том, что вы меняете переменные, чтобы вычислить интеграл по путям$\phi$. Вы подставляете вместо$\eta$с точки зрения$\phi$, и вам нужен определитель, чтобы изменить от$\eta$переменной (где мера интеграла по путям равномерна) к$\phi$переменные (где в обычном соглашении Стратоновича для продуктов в целочисленном пути это не так).

Вы получаете

$$S= -{1\over 2} \int (\partial_x \phi_1 + \partial_y \phi_2 +W_1 )^2 + (\partial_y\phi_1 - \partial_x\phi_2+ W_2)^2$$

и интеграл по путям

$$\int e^{-S} \mathrm{det}(\partial_x +\partial_1 W_1, \partial_y + \partial_2 W_1 ; \partial_y + \partial_2 W_2,-\partial_x + \partial_2 W_2)$$

Где точка с запятой разделяет строки матрицы (я не знаю, как это написать). Фермионное действие даст 2-мерную фермионную часть полного SUSY-действия в 2-мерном пространстве.

Во-первых, обратите внимание, что бозонное действие воспроизводит желаемое действие свободного поля в производных частях.

$$S_f = -{1\over 2} \int |\nabla\phi_1|^2 + |\nabla\phi_2|^2$$

Во взаимодействующих частях вы получаете

$$S_i = -{1\over 2} \int W_1^2 + W_2^2$$

Что и будет сверхпотенциальным взаимодействием для бозонного поля в конце дня. Но вы также получаете перекрестные члены, которые нарушают вращательную инвариантность в целом.

$$S_c = - \int \partial_x \phi_1 W_1 + \partial_y\phi_2 W_1 +\partial_y\phi_1 W_1 - \partial_y\phi_2 W_2$$

Эти перекрестные члены должны сокращаться, чтобы получить вращательно-инвариантную систему. Отсюда вы узнаете, что (W_1 + iW_2) должна быть голоморфной функцией$\phi_1 + i\phi_2$, что является совершенно другой демонстрацией голоморфности суперпотенциала, не проходящей через суперпространство или диаграммы, а требующей вращательной инвариантности стохастической формы евклидовой теории.

Самый быстрый способ увидеть, что требуется голоморфность (вы можете понять это сами, попробовав примеры), — записать перекрестные члены в голоморфной форме: они являются реальной частью разложения по компонентам

$$\partial_{z}\phi W(\phi) = \partial_z V$$

Где V — антипроизводная голоморфной функции W. V также голоморфна, и, дифференцируя ее по$\bar\phi$дает ноль. Перекрестные члены теперь являются совершенными производными (но вам нужно цепное правило, учитывающее интерпретацию некоммутирующих произведений, это то, что автоматически дает определитель в том виде, в котором он написан).

Определитель теперь добавляет фермионное действие

$$S_f = \bar\psi (\sigma\cdot\partial + V'') \psi$$

Для двухкомпонентных фермионов с выбором двумерных евклидовых i-свободных гамма-матриц$\sigma_x, \sigma_z$(которые реальны, антикоммутируют друг с другом и равны 1). Свободное действие можно переписать в терминах левых и правых движителей, чтобы увидеть, что их по два, а результирующее действие равно

$$S = \int |\nabla\phi|^2 + |V'(\phi)|^2 + \bar{\psi}(\sigma\cdot\nabla + V'')\psi$$

А это ваше уменьшенное по размеру евклидово действие Весса-Зумино, использующее$V(\phi) = {\phi^{k+3}\over (k+2)(k+3)}$(V — это просто первообразная W, которая является полиномиальным суперпотенциалом, который вам дали). (2,2) SUSY (два левых и два правых фермиона, каждый SUSic со скаляром) является автоматическим, потому что это SUSY Паризи-Сурла любой стохастической системы.

Карта Николаи немедленно дает вам массу вещей: обычно она дает вам точную волновую функцию основного состояния для бозонных полей, так как это статистическое распределение связанного стохастического уравнения, которое является экспонентой от V (и некоторых производных частей). К сожалению, в этом случае возникают серьезные инфракрасные проблемы с распределением из-за производных частей, поэтому мне никогда не удавалось записать волновую функцию основного состояния аналитически таким образом, чтобы сделать ее осмысленной.

Карта Николаи автоматически дает вам возможность смоделировать теорию на решетке --- просто сгенерируйте$\eta's$и сделать нелинейные преобразования. Это стало индустрией в последнее десятилетие, с одной из ведущих фигур Саймоном Каттероллом в Сиракузах. Общеизвестно, что системы SUSY трудно моделировать, сохраняя точность SUSY. Несколько картографических систем Николаи (эта и SUSY QM) являются единственными исключениями, где моделирование системы SUSY проще, чем системы без SUSY. К счастью, это включает в себя матричную теорию и, возможно, включает N=4 SYM (Каттеролл тоже хочет заняться этой теорией), хотя там я не знаю, как это сделать (но меня всегда мучает чувство, что это можно сделать для гораздо больше систем, мы просто упускаем из виду важную простую идею --- Каттеролл делает это без упоминания явного отображения Николаи (хотя это было его отправной точкой), но с подмножеством решетки SUSY, что является более технически раздражающим способом сказать подобное вещь,

Это имеет очень мало отношения к вопросам, которые вы задаете напрямую, но вы просили об этом. Вам нужны генераторы SUSY, из них вы найдете тензор энергии напряжения, из этого вы найдете первичные поля и так далее. Все это вы можете сделать напрямую, ничего не зная об этом, но это делает SUSY в модели полностью интуитивно понятным.