Справочник по лагранжиану Черна-Саймонса N=3N=3{\cal N}=3 в общих чертах NcNcN_c, NfNfN_f

Что ж, меня любезно поблагодарили на самой странице 31, поэтому было бы справедливо с моей стороны попытаться дать ответ, каким бы несовершенным он ни был:

Построение лагранжиана

Я чувствую, что лагранжиан в компонентах ясно описан в приложении А, особенно уравнение (А.4), но тот факт, что структура членов выглядит трудоемкой, не является иллюзией; это достаточно сложный расчет. Их теория является теорией Черна-Саймонса, поэтому она имеет калибровочное поле с обычным лагранжевым членом Черна-Саймонса, который должен быть включен в полный лагранжиан. Все остальное — термины для полей дополнительной материи.

Есть$N_f$«поколения» полей материи. Поля материи включают скаляры$q$и фермионы$\psi$: это части супермультиплета под${\mathcal N}=2$подалгебра суперсимметрии, которая эквивалентна четырем действительным суперзарядам, очень похожая на минимальную${\mathcal N}=1$в четырех измерениях.

Суперзаряды в 3D трансформируются как двухкомпонентные настоящие спиноры, здесь нет хиральности, поэтому, если у вас есть${\mathcal N}=n$SUSY в 3D, R-симметрия неизбежно$SO(n)$на уровне алгебры Ли. Для${\mathcal N}=3$, поэтому получаем$SO(3)$R-симметрия, которую лучше записать как$SU(2)$. Таким образом, все поля добавленной материи на самом деле должны нести$a,b=1,2$показатели этого$SU(2)$R-симметрия; поэтому сверхзаряды, построенные в основном как билинейные объекты из этих полей, трансформируются как триплет этого$SU(2)=SO(3)$, как того требует наша тройная расширенная SUSY.

Поля фермионной материи также имеют спинорный индекс$\alpha=1,2$по понятным причинам: фермионы — это спиноры пространства-времени.

Оставшийся индекс, переносимый скалярами$q$а также фермионы$\psi$индекс с большой буквы$A,B=1,\dots 2N_f$маркировка фундаментального представления$USp(2N_f)=U(N_f,{\mathbb H})$. Это глобальная симметрия, которую вы получаете от$N_f$вкусы здесь. Априори можно было подумать, что вы получаете просто$SU(N_f)$как глобальная ароматическая симметрия. Однако это было бы недооценкой; полная ароматическая симметрия расширяется до симплектической. Почему?

На это в значительной степени отвечает уравнение (A.1) и, возможно, в других местах. Компоненты полей материи сложны, но все же можно наложить условие реальности. Однако условие реальности предполагает сопряжение$\epsilon_{ab}$символ$SU(2)$R-симметрия; это необходимо для комплексного сопряжения дублетов, чтобы сохранить$SU(2)$. Из-за этого эпсилона можно добавить еще один антисимметричный объект,$\omega_{AB}$инвариант симплектической группы и наложить условие реальности (A.1) на поля материи (с дополнительным спинориальным эпсилоном для фермионов, необходимым для сохранения лоренцевской симметрии в 3D).

Никто не мог заменить$\omega$к$\delta$потому что двумерное представление$SU(2)$не настоящий; но это псевдореальное и тензорное произведение псевдореального представления$SU(2)$и псевдореальное представление$USp(2N_f)$действительно дает нам реальное представление (это основной факт теории представлений:$j=-1$структурная карта, которая существует для каждого псевдореального представления, умножается, чтобы получить$j=+1$структурная карта на тензорном произведении, доказывающая, что это реально: я действительно не знаю, хотите ли вы, чтобы подобные вещи также объяснялись, или вы их знаете) - тот, который может быть ограничен условием реальности. Дополнительный эпсилон для пространственно-временных индексов Лоренца ничего не меняет в условиях реальности, потому что двумерное спинорное представление$Spin(2,1)$реально.

Остальная часть лагранжиана (A.4) получается просто переписыванием частей суперпространственного лагранжа, таких как (2.3) и (2.5), а также суперпотенциального члена (2.9), частного случая (2.10), в виде язык компонентов. Такие объекты, как$s$(билинейный) - это бухгалтерские устройства для упрощения структуры взаимодействующего лагранжиана, который включает такие вещи, как взаимодействия шестого порядка (если они записаны в терминах компонентов), поэтому эти члены взаимодействия могут быть переписаны как кубические в$s$, по крайней мере некоторые из них. Некоторые из этих конструкций — и, надеюсь, все из них, которые с большой вероятностью могут быть неясными — объясняются в документе, и если что-то недостаточно подробно, вы должны указать, в чем причина путаницы, потому что в противном случае вы Я действительно прошу пользователей Stack Exchange написать «более подробную (то есть, возможно, более длинную) версию 47-страничного документа», что может быть слишком много, чтобы просить.

Неудивительно, что Вайнберг или Весс и Бэггер не обсуждают этот конкретный случай трехмерной суперсимметрии с этими конкретными полями материи. Статьи о суперконформных трехмерных теориях Черна-Саймонса с материей являются открытиями последних 5 лет или около того, частями мембранной мини-революции, о которых не знали десятилетия назад, когда Весс, Баггер и Вайнберг писали свои учебники по суперсимметрии. Однако ясно, что пользователь статьи Кси и Давиде — и других — должен знать такие вещи, как симплектическая симметрия. Ваше неправильное написание$USp$как$US_p$дает некоторый намек на то, что вы на самом деле не знаете группу, и нельзя изучать сложные вещи, такие как трехмерная теория Черна-Саймонса, связанная с материей, без хорошего знания таких основных математических частей, как симплектическая симметрия.

Конформная инвариантность

В таких контекстах конформная инвариантность квантовой теории может быть доказана путем доказательства классической конформной инвариантности; и исчезновение квантовых поправок, которые могли нарушить масштабную инвариантность. В общем случае достаточно доказать масштабную инвариантность — теория является неподвижной точкой — и этого достаточно, чтобы теория также обладала полной конформной симметрией. Если теория обладает масштабной инвариантностью и суперсимметрией, то достаточно доказать суперконформную инвариантность, поскольку экстрафермионные суперконформные генераторы могут быть получены как коммутаторы конформных генераторов и SUSY-генераторов.

Существуют исключения — масштабно-инвариантные теории, которые не являются конформными, — но эти исключения не могут встречаться в большинстве физических контекстов, таких как этот. Я действительно забыл, что требуют исключения.

Обычная чистая трехмерная теория Черна-Саймонса является топологической — наблюдаемые зависят только от топологии пространства-времени (или объема мира) — так что она, конечно, также точно конформна. Когда добавляется материя, теория перестает быть топологической, но при правильном выборе она может оставаться конформной. В статье Кси и Давиде конформная симметрия сложной теории продемонстрирована примерно на странице 8. Они демонстрируют ее двумя способами. в${\mathcal N}=2$языке, они добавляют сверхпотенциал с коэффициентом$\alpha$. Чтобы проверить масштабную инвариантность или ее несостоятельность, достаточно вычислить RG для этого нового параметра.$\alpha$, т. е. бета-функцию, и задается уравнением (2.11).

В общем случае достаточно убедиться, что теория перенормируема, и ренормгруппа всех ренормируемых безразмерных связок обращается в нуль. Для правильного выбора муфт это было сделано в их статье. Единственной поправкой квантовых петель к параметрам в этих теориях является фиксированный сдвиг на уровень Черна-Саймонса$k$.