Максимальная работа, полученная при смешении двух газов

Энтропия$N$молекул идеального газа в объеме$V$при температуре$T$можно выразить как:

Здесь$V_0$и$T_0$определить произвольные стандартные условия, при которых известна энтропия, и$C_v$- полная теплоемкость при постоянном объеме. Чтобы вывести эту формулу, вы можете рассмотреть изменение энтропии от стандартных условий до конечного состояния, используя изотермический процесс при постоянном давлении, когда к системе добавляется тепло, что дает первый член. После этого мы можем изменить температуру от$T_0$к$T$при добавлении тепла в систему при постоянном объеме изменение энтропии в результате этого процесса определяется вторым членом.

Таким образом, начальную энтропию системы можно выразить как:

где$K$является константой (для задач, когда общее число молекул в системе не меняется). Конечным состоянием будет состояние, в котором молекулы находятся (или могут считаться находящимися) в объеме$V_1 + V_2$при некоторой температуре$T_f$. Если никакая работа больше не может быть извлечена, газы в двух ящиках должны находиться в тепловом равновесии друг с другом, и тогда не имеет значения, есть ли разделение между газами. Таким образом, окончательная энтропия определяется выражением:

Тогда для любого процесса, включающего только два ящика,$S_{\text{final}}\geq S_{\text{initial}}$. Максимальное количество работы, которую мы можем извлечь из системы, получается в обратимом случае, когда энтропия остается неизменной. Мы можем увидеть это, рассмотрев два процесса, в одном из которых энтропия увеличивается, а в другом она остается неизменной. Тогда мы можем перейти от последнего к первому, сбросив энергию, извлекаемую в виде работы, в виде тепла в систему при постоянном объеме$V_1+V_2$пока не достигнем той же энтропии, что и у первой системы (а в результате и конечной температуры второй системы, так как объем, энтропия и число молекул полностью определяют термодинамическое состояние системы). Поскольку затем мы выбросили работу, чтобы достичь прежнего конечного состояния, с увеличением энтропии вы всегда хуже, чем когда энтропия остается прежней.

Таким образом, чтобы найти максимальное количество работы, нам нужно приравнять$S_{\text{final}}$к$S_{\text{initial}}$, тогда мы можем решить для$T_{f}$, падение внутренней энергии является тогда максимальным количеством работы, извлекаемой из системы (обратите внимание, что никакое тепло не может быть добавлено или извлечено из системы, поскольку полная энтропия осталась прежней, поэтому все изменение внутренней энергии происходит из-за работать). Решение для$T_f$дает:

где мы использовали это$C_V = \dfrac{f}{2}N k$и$\gamma = \dfrac{f+2}{f}$где$f$- эффективное число степеней свободы на молекулу.

Общий объем работы$W$которое может быть извлечено, равно:

У вас это хорошо отлажено. Чтобы получить максимальную отдачу от него, вы можете вручную удерживать адиабатическую перегородку между ними и позволять газам перемещать перегородку очень постепенно, пока давления не выровняются. Работа, которую перегородка передает на вашу руку, будет максимальной работой. Это то же самое, что и чистая работа, если каждый газ адиабатически и обратимо изменяет объем до тех пор, пока каждый не достигнет конечного давления, соответствующего давлению другого. Итак, сначала выразите давление как функцию объема каждого и установите равные конечные давления. Это скажет вам конечный объем каждого, конечное давление и конечное состояние. Затем вы можете рассчитать работу, выполненную каждым, а затем чистую работу.