Вычисление энтропии для двух систем идеальных газов

Назовем ваши два процесса процесс A и процесс B.

В конце процесса Б свободная энергия системы выше, чем в конце процесса А. В чем можно убедиться, соединив все ящики (в конце процесса Б) между собой - количество частиц стабилизируется как 2 на небольшая коробка (в среднем).

Вы можете рассчитать свободные энергии, используя формулу$G = U + PV - TS$. Для этого простого эксперимента мы предполагаем, что все происходит при постоянной температуре. Так$U = n k_B T$,$P V = n R T$, и$S = n k_S \ln V$, где$k_S$является некоторой константой. Таким образом:

$$G = n k_B T + n R T - n k_S T \ln V = n T (k_B + R - k_S \ln V)$$

И поэтому, когда газ расширяется до большего объема:

$$\Delta G = -n T k_S \ln \frac{V_2}{V_1}$$

Поскольку мы приняли постоянную температуру, выберем наши единицы измерения так, чтобы$T = 1$и$k_S = 1$, таким образом:

$$\Delta G = -n \ln V$$

Теперь мы можем рассчитать изменение свободной энергии для каждого из процессов. Для процесса А мы идем от$V_1$к$2V_1$, а число частиц равно 12, поэтому:

$$\Delta G = -12 \frac{2 V_1}{V_1} \approxeq -8.31$$

Процесс B происходит в 3 этапа. На шаге 1 мы увеличиваем громкость на$\frac{1}{3}V_1$пока$n=12$:

$$\Delta G = -12 \ln \frac{4 V_1}{3 V_1} = -12 \ln \frac{4}{3}$$

На шаге 2 мы увеличиваем объем на ту же величину, при этом количество частиц$n=9$(поскольку в удаленном ящике теперь 3 частицы; обратите внимание, что$n$среднее число частиц):

$$\Delta G = -9 \ln \frac{4}{3}$$

И для шага 3,$n = 6.75$:

$$\Delta G = -6.75 \ln \frac{4}{3}$$

Наконец, суммируя эти вклады, мы видим, что полное изменение свободной энергии для процесса B равно$-27.75 \ln \frac{4}{3} \approxeq -7.98$, что является меньшим изменением, чем в процессе A.