Машина Этвуда с пружиной

Question

Машина Этвуда с пружиной

Денвер Данг

Я только начинаю изучать лагранжевую механику, и меня просят найти кинетическую энергию этой машины Этвуда (см. рисунок).

машина Этвуда

Мне сказали, что кинетическая энергия должна быть:

Т "=" 2 м {\dot{Икс}}^{2} + \frac{1}{2} м {\dot{у}}^{2} - м \dot{Икс} \dot{у}

$T=2m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{y}^{2}-m\dot{x}\dot{y}$

Мне также говорили, что движение такое медленное, что пружина всегда растянута, и $x$ и $y$ мои обобщенные координаты.

Так что делать? Сначала я понял, что, поскольку пружина всегда растянута, все массы зависят друг от друга, и я, возможно, мог бы рассматривать ее как целую струну с одной массой слева и двумя справа. Но это не дало мне правильного ответа. Так что я надеялся, что кто-то может дать мне подсказку или что-то в этом роде?

Тим Гудман

Вы пробовали написать выражение для потенциальной энергии (поскольку у вас уже есть кинетическая энергия), а затем использовать уравнение Эйлера-Лагранжа?

Денвер Данг

Нет, но следующий вопрос в этом задании — показать, что потенциальная энергия — это некоторое выражение. Так что я предполагаю, что мне не разрешено делать обходные пути :)

Тим Гудман

А, я понимаю. Обычно для этих проблем вы пишете

L = T - V

$L = T - V$ и используйте Эйлера-Лагранжа, но это только часть 1. Я дал вам суть того, как это сделать в своем ответе, стараясь не раскрывать все это.

Брайан Мотс

Я думаю, когда говорится, что пружина всегда растянута, это не означает, что длина пружины постоянна, это просто означает, что длина пружины никогда не становится равной нулю.

Ответы (1)

Машина Этвуда с пружиной

Вы пробовали написать выражение для потенциальной энергии (поскольку у вас уже есть кинетическая энергия), а затем использовать уравнение Эйлера-Лагранжа?
Нет, но следующий вопрос в этом задании — показать, что потенциальная энергия — это некоторое выражение. Так что я предполагаю, что мне не разрешено делать обходные пути :)
А, я понимаю. Обычно для этих проблем вы пишете $L = T - V$ и используйте Эйлера-Лагранжа, но это только часть 1. Я дал вам суть того, как это сделать в своем ответе, стараясь не раскрывать все это.
Я думаю, когда говорится, что пружина всегда растянута, это не означает, что длина пружины постоянна, это просто означает, что длина пружины никогда не становится равной нулю.

Тим Гудман · Answer 1

Тим Гудман

Я думаю, вы должны сначала выразить кинетическую энергию каждого блока, используя $\frac{1}{2} m v^2$ , где $v$ это скорость блока. Затем просто суммируйте их. Похоже, что для двух блоков скорость равна $\dot{x}$ , а для одного из них скорость $\dot{x} - \dot{y}$ . Будьте внимательны, помните, что для одного из блоков масса равна $2m$ .

Денвер Данг

Хорошо, я думаю, что могу получить его сейчас. Большой боб

m {\dot{x}}^{2}

$m\dot{x}^{2}$ , маленький и первый боб

\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}

$\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ с

x

$x$ и

y

$y$ в этом случае зависят друг от друга. Но я не уверен, что полностью понимаю, почему последний боб

\frac{1}{2} m (\dot{x} - \dot{y})^{2}

$\frac{1}{2}m(\dot{x}-\dot{y})^{2}$ ? Или, может быть, это потому, что последний боб на самом деле

\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2}

$\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}$ а второй боб имеет вышеперечисленное? Это действительно имело бы больше смысла, но, может быть, я ошибаюсь?

Тим Гудман

Последний боб

\frac{1}{2} m (\dot{x} - \dot{y})^{2}

$\frac{1}{2}m(\dot{x}-\dot{y})^{2}$ потому что если большой боб двигается

Δ x

$\Delta x$ , то струна движется

Δ x

$\Delta x$ , но пружина может растянуться на

Δ y

$\Delta y$ чтобы последний боб меньше двигался. Может быть, будет понятнее, если представить, что было бы, если бы

x

$x$ и

y

$y$ увеличивается с той же скоростью: тогда самый правый боб должен быть неподвижным, верно?

Денвер Данг

Я думаю, что он у меня есть сейчас. Возможно, меня смутило утверждение «строка всегда растягивается», хотя я просто думал, что она все время была постоянной. Но джентльмен выше сделал это немного яснее. Спасибо вам обоим :)

Тим Гудман

Да, эта строка немного вводила в заблуждение.

Машина Этвуда с пружиной

Денвер Данг

Тим Гудман

Денвер Данг

Тим Гудман

Брайан Мотс

Ответы (1)

Тим Гудман

Денвер Данг

Тим Гудман

Денвер Данг

Тим Гудман

Каково значение максимального сжатия пружины?

Сбрасывание гири на пружинные весы

Максимальное удлинение системы пружинных масс

Какой подход выбрать с вертикальной пружиной?

Объяснение Фейнманом виртуальной работы, данное в его книге «Лекции Фейнмана по физике».

Два тела, соединенные пружиной

Работа, совершаемая пружиной на расстоянии

Как обращаться с лагранжианом в случае твердого тела?

Неясное определение несохранения энергии